N. di squadre partecipanti ad un torneo

[carolapatr]

Un torneo di calcio si svolge in due fasi. Nella prima fase le squadre sono suddivise in 8 gruppi di ugual numero. Ciascuna squadra gioca una sola volta contro ogni squadra del proprio gruppo. La vincitrice di ciascun gruppo si qualifica per la seconda fase a eliminazione diretta. Al termine del torneo la squadra vincitrice avrà disputato 8 partite. Quante squadre prendono parte alla prima fase del torneo?

A. 28

B. 48

C. 40

D. 8

Se non considerassi la sola esistenza di otto squadre piuttosto che di un numero di squadre x suddivise in 8 gruppi non saprei uscirne viva.

Ecco a voi il mio ragionamento lacunoso. Me ne vergogno ma non vorrei che qualcuno mi desse della lavativa!

Considerando 8 squadre totali A, B, C, D, E, F, G, H immagino che

A vs B -> A vincitrice
C vs D -> C vincitrice
E vs F -> E vincitrice
G vs H -> G vincitrice

2° round
A gioca contro C, vincendo
E gioca contro G, vincendo

3° round
A e G si sfidano e A vince

Suggeritemi un metodo, per favore. Non mi viene in mente niente

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In primo luogo chiamiamo $x$ il numero totale di squadre e diciamo che in ciascun gruppo ci sono $y$ squadre. Siccome ci sono 8 gruppi con lo stesso numero di squadre, allora $x/8 = y$ è uguale al numero di squadre in ciascun girone. Pertanto $x=8y$. Escludiamo già il $28$ perché non è un multiplo di $8$. In particolare in ogni gruppo una squadra gioca $y-1$ partite, perché gioca contro ciascuna squadra una volta sola tranne che contro se stessa (ovviamente).

Nella seconda fase, la fase a eliminazione diretta la squadra vincitrice fa $3$ partite, giusto? I quarti di finale, le semifinali e la finale. Noi cerchiamo quindi $(y-1)+3=y+2=8$, perché $8$ è il numero totale di partite disputate dalla squadra vincitrice e ne ha disputate $(y-1)$ nella prima fase e $3$ nella seconda fase quindi chiaramente $(y-1) + 3 = 8$.

Ora provi a dividere

[axpgn]

Ci sono 8 gironi quindi la seconda fase consiste in quarti, semifinale e finale.
La vincitrice del torneo avrà fatto tre partite nella seconda fase e cinque nella prima perciò i gironi sono composti da 6 squadre per un totale di 48.


Cordialmente, Alex