Monotonia ed invertibilità
Buona sera a tutti 
Mi sto arrovellando su un quesito piuttosto particolare: mi si chiede di portare l'esempio di una funzione che non sia strettamente monotona ma che sia comunque invertibile.
Ho pensato che tale funzione dovrà necessariamente avere un asintoto verticale o qualcosa di simile... Ho disegnato una funzione che soddisferebbe le richieste del quesito ma non so trovarne l'espressione analitica (avevo pensato ad una funzione che avesse un "ramo di iperbole" nel terzo quadrande e quindi decrescente (con $y=0$ e $x=0$ asintoti) e poi ripartisse con un punto a tangente verticale dall'origine per andare o a $+oo$ e ad un asintoto orizzontale (e qui sarebbe crescente). Tale funzione viene intersecata al più una volta da ogni retta del tipo $y=k$ e dunque risulterebbe invertibile.
Questa soluzione, oltre a non essere completa, mi sembra anche troppo poco "elegante").
Mi sto arrovellando su un quesito piuttosto particolare: mi si chiede di portare l'esempio di una funzione che non sia strettamente monotona ma che sia comunque invertibile.
Ho pensato che tale funzione dovrà necessariamente avere un asintoto verticale o qualcosa di simile... Ho disegnato una funzione che soddisferebbe le richieste del quesito ma non so trovarne l'espressione analitica (avevo pensato ad una funzione che avesse un "ramo di iperbole" nel terzo quadrande e quindi decrescente (con $y=0$ e $x=0$ asintoti) e poi ripartisse con un punto a tangente verticale dall'origine per andare o a $+oo$ e ad un asintoto orizzontale (e qui sarebbe crescente). Tale funzione viene intersecata al più una volta da ogni retta del tipo $y=k$ e dunque risulterebbe invertibile.
Questa soluzione, oltre a non essere completa, mi sembra anche troppo poco "elegante").
Risposte
Va bene anche una cosa semplice come:
$f(x)={(x,if 0<=x<4),(12-x,if 4<=x<=8):}$
Ma se vuoi il ramo di iperbole
$f(x)={(1/x,if x<0),(x,if x>=0):}$ Per $x>=0$ puoi usare anche un ramo di parabola $y=x^2$
$f(x)={(x,if 0<=x<4),(12-x,if 4<=x<=8):}$
Ma se vuoi il ramo di iperbole
$f(x)={(1/x,if x<0),(x,if x>=0):}$ Per $x>=0$ puoi usare anche un ramo di parabola $y=x^2$
Certo... Ero andato a crearmi castelli ben più complicati quando avevo la soluzione d'avanti agli occhi. Grazie mille @melia e scusa della domanda non troppo stimolante 
PS. per invertire una funzione definita per casi procedo ramo per ramo, no? Per esempio se $f(x)={(1/x,if x<0),(sqrt(x),if x>=0):}$ allora $f^-1(x)={(1/x,if x<0),(x^2,if x>=0):}$, giusto?
PS. per invertire una funzione definita per casi procedo ramo per ramo, no? Per esempio se $f(x)={(1/x,if x<0),(sqrt(x),if x>=0):}$ allora $f^-1(x)={(1/x,if x<0),(x^2,if x>=0):}$, giusto?
"Albert Wesker 27":
PS. per invertire una funzione definita per casi procedo ramo per ramo, no?
È giusto
Grazie mille, sempre molto gentile 
Non è proprio lo stesso esempio fatto da @melia (mi riferisco al primo dei suoi esempi) ma lo spirito è lo stesso - e soprattutto questo posso riciclarlo pari pari da un post recente in "Pensare un po' di più" 
:
[asvg]xmin=-2; xmax=2; axes(); xmin=-3; xmax=0; plot("x"); xmin=0; xmax=1; plot("-x+1"); xmin=1; xmax=3; plot("x"); circle([0, 1], 0.08); circle([1, 0], 0.08); fill="black"; circle([0,0], 0.08); circle([1, 1], 0.08);[/asvg]
:[asvg]xmin=-2; xmax=2; axes(); xmin=-3; xmax=0; plot("x"); xmin=0; xmax=1; plot("-x+1"); xmin=1; xmax=3; plot("x"); circle([0, 1], 0.08); circle([1, 0], 0.08); fill="black"; circle([0,0], 0.08); circle([1, 1], 0.08);[/asvg]
Scusate se riprendo questo vecchio post, volevo chiedere se è corretto affermare che la funzione $1/x$ definita in $RR-{0}$ è un valido esempio di funzione non monotona ma comuque invertibile. Grazie
"cenzo":
Scusate se riprendo questo vecchio post, volevo chiedere se è corretto affermare che la funzione $1/x$ definita in $RR-{0}$ è un valido esempio di funzione non monotona ma comuque invertibile. Grazie
Certo.
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