MOLTO IMPORTANTE
In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (O xy ) è assegnata la parabola di equazione:
y = -x2 +2x +3
Sia P(x, y) un punto dell'arco , appartenente al primo quadrante, di detta parabola ed H la proiezione di P sull'asse delle ascisse.
Sul piano passante per il punto P e perpendicolare all'asse delle ascisse, si consideri il triangolo APB, avente i lati AP e PB uguali, il segmento PH come altezza relativa al lato AB, e tale che la somma delle lunghezze di AB e di PH sia 4.
Il candidato
a) dica quali posizioni deve occupare P sull'arco considerato affinché il triangolo APB esista;
b) limitatamente alle suddette posizioni di P, esprima l'area S del triangolo APB in funzione dell'ascissa di P e studi come essa varia al variare di P
y = -x2 +2x +3
Sia P(x, y) un punto dell'arco , appartenente al primo quadrante, di detta parabola ed H la proiezione di P sull'asse delle ascisse.
Sul piano passante per il punto P e perpendicolare all'asse delle ascisse, si consideri il triangolo APB, avente i lati AP e PB uguali, il segmento PH come altezza relativa al lato AB, e tale che la somma delle lunghezze di AB e di PH sia 4.
Il candidato
a) dica quali posizioni deve occupare P sull'arco considerato affinché il triangolo APB esista;
b) limitatamente alle suddette posizioni di P, esprima l'area S del triangolo APB in funzione dell'ascissa di P e studi come essa varia al variare di P
Risposte
a) Perché il triangolo APB esista, il punto P deve trovarsi sull'arco della parabola definito nel primo quadrante. Quindi, le posizioni valide per P sono quelle in cui l'ordinata y sia positiva.
b) Per calcolare l'area S del triangolo APB, dobbiamo prima trovare le coordinate dei punti A, B e P in funzione dell'ascissa x di P.
Per trovare il punto A, consideriamo che il segmento AP ha la stessa lunghezza del segmento PB. Pertanto, il punto A sarà simmetrico rispetto all'asse delle ordinate rispetto al punto B. Quindi, le coordinate del punto A saranno $(-x, y)$ e le coordinate del punto B saranno$ (x, y)$.
Ora calcoliamo le coordinate del punto P. Poiché P giace sulla parabola $ y = -x^2 + 2x + 3 $, sostituiamo y con $-x^2 + 2x + 3$. Quindi, le coordinate di P saranno $(x, -x^2 + 2x + 3)$.
Ora calcoliamo la lunghezza del segmento AB. Utilizzando la formula della distanza tra due punti nel piano, otteniamo:
$AB = √[(x - (-x))^2 + (y - y)^2] = √[(2x)^2] = 2x$
La lunghezza del segmento PH è data dalla differenza tra l'ordinata del punto P e l'ascissa del punto H, che è 0 poiché H è la proiezione di P sull'asse delle ascisse. Quindi:
$PH = (-x^2 + 2x + 3) - 0 = -x^2 + 2x + 3$
La somma delle lunghezze di AB e PH è data da:
$AB + PH = 2x + (-x^2 + 2x + 3) = -x^2 + 4x + 3$
Dato che la somma delle lunghezze di AB e PH deve essere 4, abbiamo l'equazione:
$-x^2 + 4x + 3 = 4$
Per risolvere questa equazione, riportiamola nella forma standard:
$-x^2 + 4x - 1 = 0$
Ora possiamo trovare le soluzioni di questa equazione usando il metodo delle radici:
$x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)$
Nel nostro caso, a = -1, b = 4 e c = -1. Risolvendo l'equazione, otteniamo due valori per x: x1 e x2.
Quindi, l'area S del triangolo APB in funzione dell'ascissa di P sarà:
$S = (1/2) * base * altezza = (1/2) * AB * PH = (1/2) * (2x) * (-x^2 + 2x + 3) = -x^3 + 3x^2 + 3x$
Studiando come l'area S varia al variare di P, possiamo derivare l'equazione dell'area rispetto a x e analizzare il segno della derivata per determinare i punti critici.
Per studiare come l'area S varia al variare di P, deriviamo l'equazione dell'area rispetto a x:
$S' = dS/dx = d/dx (-x^3 + 3x^2 + 3x) = -3x^2 + 6x + 3$
La derivata S' rappresenta la velocità di variazione dell'area rispetto all'ascissa x di P.
Per determinare i punti critici, impostiamo S' = 0 e risolviamo l'equazione:
$-3x^2 + 6x + 3 = 0$
Dividendo entrambi i membri per -3, otteniamo:
$x^2 - 2x - 1 = 0$
Possiamo risolvere questa equazione usando il metodo delle radici:
$x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)$
Nel nostro caso, a = 1, b = -2 e c = -1. Risolvendo l'equazione, otteniamo due valori per x: x1 e x2.
Ora possiamo analizzare il segno della derivata S' in diversi intervalli per determinare il comportamento dell'area S:
Intervallo$ (-∞, x1)$: Se S' è positiva in questo intervallo, l'area S sta aumentando.
Intervallo $(x1, x2)$: Se S' è negativa in questo intervallo, l'area S sta diminuendo.
Intervallo$ (x2, +∞)$: Se S' è positiva in questo intervallo, l'area S sta aumentando.
Pertanto, l'area S del triangolo APB aumenta nel primo intervallo, diminuisce nel secondo intervallo e aumenta nuovamente nel terzo intervallo.
b) Per calcolare l'area S del triangolo APB, dobbiamo prima trovare le coordinate dei punti A, B e P in funzione dell'ascissa x di P.
Per trovare il punto A, consideriamo che il segmento AP ha la stessa lunghezza del segmento PB. Pertanto, il punto A sarà simmetrico rispetto all'asse delle ordinate rispetto al punto B. Quindi, le coordinate del punto A saranno $(-x, y)$ e le coordinate del punto B saranno$ (x, y)$.
Ora calcoliamo le coordinate del punto P. Poiché P giace sulla parabola $ y = -x^2 + 2x + 3 $, sostituiamo y con $-x^2 + 2x + 3$. Quindi, le coordinate di P saranno $(x, -x^2 + 2x + 3)$.
Ora calcoliamo la lunghezza del segmento AB. Utilizzando la formula della distanza tra due punti nel piano, otteniamo:
$AB = √[(x - (-x))^2 + (y - y)^2] = √[(2x)^2] = 2x$
La lunghezza del segmento PH è data dalla differenza tra l'ordinata del punto P e l'ascissa del punto H, che è 0 poiché H è la proiezione di P sull'asse delle ascisse. Quindi:
$PH = (-x^2 + 2x + 3) - 0 = -x^2 + 2x + 3$
La somma delle lunghezze di AB e PH è data da:
$AB + PH = 2x + (-x^2 + 2x + 3) = -x^2 + 4x + 3$
Dato che la somma delle lunghezze di AB e PH deve essere 4, abbiamo l'equazione:
$-x^2 + 4x + 3 = 4$
Per risolvere questa equazione, riportiamola nella forma standard:
$-x^2 + 4x - 1 = 0$
Ora possiamo trovare le soluzioni di questa equazione usando il metodo delle radici:
$x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)$
Nel nostro caso, a = -1, b = 4 e c = -1. Risolvendo l'equazione, otteniamo due valori per x: x1 e x2.
Quindi, l'area S del triangolo APB in funzione dell'ascissa di P sarà:
$S = (1/2) * base * altezza = (1/2) * AB * PH = (1/2) * (2x) * (-x^2 + 2x + 3) = -x^3 + 3x^2 + 3x$
Studiando come l'area S varia al variare di P, possiamo derivare l'equazione dell'area rispetto a x e analizzare il segno della derivata per determinare i punti critici.
Per studiare come l'area S varia al variare di P, deriviamo l'equazione dell'area rispetto a x:
$S' = dS/dx = d/dx (-x^3 + 3x^2 + 3x) = -3x^2 + 6x + 3$
La derivata S' rappresenta la velocità di variazione dell'area rispetto all'ascissa x di P.
Per determinare i punti critici, impostiamo S' = 0 e risolviamo l'equazione:
$-3x^2 + 6x + 3 = 0$
Dividendo entrambi i membri per -3, otteniamo:
$x^2 - 2x - 1 = 0$
Possiamo risolvere questa equazione usando il metodo delle radici:
$x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)$
Nel nostro caso, a = 1, b = -2 e c = -1. Risolvendo l'equazione, otteniamo due valori per x: x1 e x2.
Ora possiamo analizzare il segno della derivata S' in diversi intervalli per determinare il comportamento dell'area S:
Intervallo$ (-∞, x1)$: Se S' è positiva in questo intervallo, l'area S sta aumentando.
Intervallo $(x1, x2)$: Se S' è negativa in questo intervallo, l'area S sta diminuendo.
Intervallo$ (x2, +∞)$: Se S' è positiva in questo intervallo, l'area S sta aumentando.
Pertanto, l'area S del triangolo APB aumenta nel primo intervallo, diminuisce nel secondo intervallo e aumenta nuovamente nel terzo intervallo.
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