Misura dell'ombra piena di una meridiana

[ABRAMO48]

PREMESSA: Una meridiana consiste in un'asta, perfettamente verticale, della quale si osserva il movimento dell'ombra proiettata su un piano perfettamente orizzontale. Alla culminazione del Sole agli equinozi, se consideriamo il triangolo rettangolo formato dall'asta e dalla sua ombra, i due cateti, l'ipotenusa è costituita dal raggio del Sole che dal vertice dell'asta raggiunge l'estremità dell'ombra. L'angolo al vertice del triangolo misura la latitudine del punto. Bene. Il problema è la penombra, ai confini dell'ombra. Il Sole non è una sorgente di luce puntiforme, infatti si parla di "disco" del Sole, che ha un'ampiezza media di circa mezzo grado. [https://web.archive.org/web/20071016182618/http://education.gsfc.nasa.gov/eclipse/pages/faq.html] Lungo tutto il bordo dell'ombra, il confine con la luce non è netto, perché, mano a mano che una maggior parte del disco del Sole diventa "visibile", oltre il corpo opaco, l'ombra piena sfuma gradatamente vesto la luce piena. Ora il punto da "segnare" è proprio il punto medio della zona di penombra, dove il raggio di luce proveniente dal centro del disco del Sole, tangente al vertice dell'asta, raggiunge la base della meridiana. E' per questo che occorre individuare, necessariamente, i limiti dell'area di penombra. Però, come è facile sperimentare, se il confine fra ombra e penombra è sufficientemente netto, non lo è affatto quello fra penombra e luce. In pratica, non è possibile individuare, con discreta precisione, il punto mediano della penombra, perché è difficile individuare il confine fra penombra e luce. Tuttavia è possibile ottenerlo successivamente, o con l'algebra geometrica, partendo proprio dalla lunghezza dell'ombra piena e dall'ampiezza del disco del Sole, oppure ottenere direttamente la latitudine, dagli stessi dati, con il calcolo trigonometrico. Infatti: L'arcotangente del rapporto fra l'ombra piena e l'altezza dell'asta ci da la misura dell'angolo al vertice riferito al raggio proveniente dalla parte superiore del disco del Sole. Moltiplicando la lunghezza dell'asta per la tangente della somma di quest'angolo con quello dell'ampiezza del disco del Sole, otteniamo la lunghezza dell'ombra più la penombra. L'arcotangente della metà della somma di questa lunghezza con quella dell'ombra fornisce la latitudine del punto di rilevazione. QUESITO: come fare l'operazione contraria, cioè: data la latitudine del punto, trovare la lunghezza dell'ombra piena, noti, ovviamente, l'altezza della meridiana e l'ampiezza del disco del Sole.

[mc2]

E` veramente difficile seguire il discorso.

L'impressione e` che si tratti solo di invertire una funzione... quindi non capisco che problema ci sia. Forse se scrivessi qualche formula sarebbe di aiuto.

[ABRAMO48]

ok.

Dato un triangolo ABC, tracciare la meridiana dal vertice A alla base BC.
E' noto l'angolo nel vertice A, la lunghezza della mediana e l'angolo che questa forma con la base BC.
Trovare la misura della base BC.

Grazie!

[mc2]

Allora, se ho capito bene, la situazione e` quella della figura allegata: sono noti la lunghezza L e gli angoli alpha e beta, e vuoi ricavare la lunghezza s (che e` la meta` di BC).

Aggiunto 9 minuti più tardi:

Per risolvere il problema io procedo con la geometria analitica.

Pongo M nell'origine degli assi cartesiani: M(0,0).

Il punto A avra` coordinate:

[math]A(L\cos\beta,L\sin\beta)[/math]

che sono valori noti.



Scrivo le coordinate di B e C in funzione di s (che e` l'incognita):

[math]B(s,0)[/math]

e

[math]C(-s,0)[/math]

Scrivo l'equazione della retta AB (in funzione di s):

[math]y=\frac{L\sin\beta}{L\cos\beta-s}(x-s)[/math]

che ha coefficiente angolare

[math]m_1=\frac{L\sin\beta}{L\cos\beta-s}[/math]

Analogamente la retta CA:

[math]y=\frac{L\sin\beta}{L\cos\beta+s}(x+s)[/math]

ha coefficiente angolare

[math]m_2=\frac{L\sin\beta}{L\cos\beta+s}[/math]

Le rette CA e AB devono intersecarsi formando un angolo alpha.

La formula per l'angolo tra due rette e`:

[math]\tan\alpha=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|[/math]

Sostituendo le espressioni trovate per m_1 ed m_2 si ottiene un'equazione nell'incognita s che si risolve (se non si puo` analiticamente, si ricorre a metodi numerici).


Spero che ti sia utile.