Minimo e massimo in un insieme ordinato
Buongiorno a tutti. Ho intrapreso un piccolo ripasso di matematica attingendo da fonti sparse sul web e seguendo come traccia un libro del primo anno delle superiori – questa premessa serva a regolare la potenza di fuoco delle vostre eventuali risposte 
Apprendo che oltre alle relazioni d'ordine rappresentate dagli operatori <, >, ≤ e ≥ , ne esistono altre come ad esempio la divisibilità. Ciò nonostante ho trovato nei testi definizioni di minimo e massimo di un ordine, ove per ordine si intende un insieme A nel quale sia introdotta una relazione d'ordine R, che fanno esplicito ricorso agli operatori ≤ e ≥. Mi sembra che se minimo e massimo, purché esistenti, sono proprietà della generalità degli ordini, la loro definizione dovrebbe essere più generica che non dipendere da ≤ o ≥.
Non è possibile definire il minimo e massimo di un ordine utilizzando una forma generica, che ricorra solo a R? Tipo: il minimo $z$ nell'ordine $(A, R)$ sia $ z in A | AA x in A, z R x $ e il massimo $y$ sia $ y in A | AA x in A, x R y $.
In questo modo non si fanno assunzioni sull'operatore applicabile, quindi si può utilizzare la definizione per la generalità delle relazioni d’ordine.
All'atto pratico, però, rilevo che questa definizione va bene per la relazione $\text{minore o uguale}$ ma conduce a risultati sorprendenti considerando altre relazioni d'ordine, come $\text{maggiore o uguale}$ oppure $\text{divisore di}$, che introdotte in $NN$ individuerebbero il loro massimo nientemeno che nell'elemento 0.
Oppure, le definizioni di minimo e massimo non sono generiche, bensì specifiche per ogni relazione d'ordine?
Apprendo che oltre alle relazioni d'ordine rappresentate dagli operatori <, >, ≤ e ≥ , ne esistono altre come ad esempio la divisibilità. Ciò nonostante ho trovato nei testi definizioni di minimo e massimo di un ordine, ove per ordine si intende un insieme A nel quale sia introdotta una relazione d'ordine R, che fanno esplicito ricorso agli operatori ≤ e ≥. Mi sembra che se minimo e massimo, purché esistenti, sono proprietà della generalità degli ordini, la loro definizione dovrebbe essere più generica che non dipendere da ≤ o ≥.
Non è possibile definire il minimo e massimo di un ordine utilizzando una forma generica, che ricorra solo a R? Tipo: il minimo $z$ nell'ordine $(A, R)$ sia $ z in A | AA x in A, z R x $ e il massimo $y$ sia $ y in A | AA x in A, x R y $.
In questo modo non si fanno assunzioni sull'operatore applicabile, quindi si può utilizzare la definizione per la generalità delle relazioni d’ordine.
All'atto pratico, però, rilevo che questa definizione va bene per la relazione $\text{minore o uguale}$ ma conduce a risultati sorprendenti considerando altre relazioni d'ordine, come $\text{maggiore o uguale}$ oppure $\text{divisore di}$, che introdotte in $NN$ individuerebbero il loro massimo nientemeno che nell'elemento 0.
Oppure, le definizioni di minimo e massimo non sono generiche, bensì specifiche per ogni relazione d'ordine?
Risposte
Per prima cosa ti chiedo cortesemente di non mettere i titoli in maiuscolo, questo l'ho corretto io, ma in futuro mi auguro rispetterai la netiquette.
Per la tua domanda, ti sei impantanato nelle relazioni d'ordine.
È ovvio, visto i risultati, che una definizione generica non può andare bene.
La spiegazione su Wikipedia è abbastanza comprensibile https://it.wikipedia.org/wiki/Relazione_d%27ordine
Per la tua domanda, ti sei impantanato nelle relazioni d'ordine.
È ovvio, visto i risultati, che una definizione generica non può andare bene.
La spiegazione su Wikipedia è abbastanza comprensibile https://it.wikipedia.org/wiki/Relazione_d%27ordine
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