Minimo e massimo di una funzione (geometria)

[Tzackel]

Dimostrare che tra tutti i triangoli a base fissa e area costante...quello di perimetro massimo e' il triangolo isoscele.

Non ci riesco :/
Ciao!

[MaMo2]

Chiamiamo b la base, A l'area e x la proiezione di un lato sulla base. L'altezza è:

$h=(2A)/b$

Utilizzando il teorema di Pitagora il perimetro diventa:

$2p=b+sqrt(x^2+h^2)+sqrt((b-x)^2+h^2)$

cioè:

$2p=b+sqrt(x^2+(4A^2)/b^2)+sqrt((b-x)^2+(4A^2)/b^2)$

Derivando questa funzione rispetto ad x ....

[Sk_Anonymous]

Ci deve essere un errore .Tra tutti i triangoli di data base ed area ,e quindi
di data altezza, l'isoscele e' quello di perimetro minimo.
Infatti ,esaminando la fig1 con ABC isoscele e ABD rettangolo in B,si vede chiaramente che e':
$6+5+5<6+4+sqrt(52)$
Questo problema mi offre il modo di riportare ,in piccola misura !!, in auge
i metodi della geometria sintetica una volta vanto dei matematici italiani.
Consideriamo la fig2 (per comodita' identica a fig1) e sia B' il punto
simmetrico di B rispetto alla retta CD parallela ad AB e distante da essa di
una misura pari all'altezza nota.
Lascio a voi il dimostrare che i punti A,C e B' sono allineati.
Ora si ha:
AC+BC=AC+CB'=AB'
Ma DB'=DB e dunque risulta:
AC+BC
E cio' prova che il triangolo isoscele ABC ha perimetro minore di qualsiasi
altro triangolo ABD di stessa base ed area.
karl

[Tzackel]

Grazie!
Ho provato a fare i calcoli mostruosi della derivata e sono arrivato ad `x=sqrt(h)b` ( forse ho fatto degli errori di calcolo )
..Ma di seguito non so piu come arrivare a dimostrare che il triangolo sia infatti isoscele

Karl: Il testo del problema l'ho detto cosi come l'ho sentito da quello che si e' ricordato un mio amico quindi puo' darsi che si era ricordato male ..e cioe' che fosse massimo invece di minimo :>

[Tzackel]

`d(2p)={x*sqrt[(b-x)^2+h^2]+(x-b)*sqrt(x^2+h^2)}/{sqrt[(b-x)^2+h^2]*sqrt(x^2+h^2)}`


`d(2p)>0 =>x^2*(b-x)^2+x^2*h^2>(b-x)^2*x^2+(b-x)^2*h^2`

`x^2>(b-x)^2`

`x>b/2 => b/2=` minimo

`x=b/2; (b-x)=b-b/2=b/2 =>` proiezioni uguali quindi i due lati uguali....allora il triangolo e' isoscele bla bla bla

Grazie a entrambi non ce l'avrei fatta