Minimo comune denominatore tra polinomi

[Lele85]

Ciao a tutti!

Ho ancora qualche problema a riconoscere le scomposizioni per fare il denominatore comune tra polinomi.

Ad esempio tra $1/(3x-3)$ e $2/(3-x)$ ho visto che come denominatore comune in un esercizio svolto veniva scelto $3(x-3)(x-1)$

Non riesco a capire da dove venga sinceramente.. immagino che mi manchi qualche base sulle scomposizioni che mi permetta di capire.
E' un raccoglimento parziale? Un raccoglimento totale? Mi sa che ho un pò di confusione..

[minomic]

Ciao, prendi il primo denominatore e lo scomponi raccogliendo il $3$: ottieni $3(x-1)$. A questo punto nei denominatori hai i seguenti fattori: $3$, $x-1$, $3-x$. Per fare il minimo comune multiplo devi prendere tutti i fattori, comuni e non comuni, al massimo grado. Cioè tutti quelli che compaiono, al massimo grado. Quindi il minimo comune multiplo è $3(x-1)(3-x)$. Se poi vuoi, puoi cambiare il segno al terzo fattore, introducendo un segno $-$. In ogni caso non cambia nulla...

[Lele85]

Grazie mille! A me appunto confondeva quel segno di $x-3$... ma si può fare così di cambiare un segno ad un fattore solo? Senza conseguenze sul senso della disequazione poi?

[minomic]

Eh beh si può fare ma bisogna stare attenti! Nel tuo caso puoi sempre dire che \[
\frac{2}{3-x} = \frac{-2}{x-3}
\] perché cambiare i segni sopra e sotto significa non cambiare nulla.

[Lele85]

Ah capito quindi basta cambiare il segno anche sopra! Grazie mille!

[minomic]

Prego!

P.S. Quella è una regola che si utilizza spesso in situazioni come \[
\frac{1}{x-3} + \frac{2}{3-x}
\] Se uno è distratto può prendere come m.c.m $(x-3)(3-x)$, il che non porta ad un risultato sbagliato, ma è inutile! Infatti si può riscrivere come \[
\frac{1}{x-3} - \frac{2}{x-3}
\] e concludere subito che il m.c.m. è proprio $x-3$.