Minimi e massimi relativi di una funzione
Buonasera, data le seguente funzione:
$y=arcsenx - 2$ trovare i punti di massimo e minimo relativo.
Il procedimento dovrebbe essere lo studio del segno di y' che è $y'=1/sqrt(1-x^2)$ essa non è sempre positiva?
La funzione iniziale non dovrebbe non avere nè minimi nè massimi?
Grazie in anticipo
$y=arcsenx - 2$ trovare i punti di massimo e minimo relativo.
Il procedimento dovrebbe essere lo studio del segno di y' che è $y'=1/sqrt(1-x^2)$ essa non è sempre positiva?
La funzione iniziale non dovrebbe non avere nè minimi nè massimi?
Grazie in anticipo
Risposte
Fai attenzione agli estremi dell'intervallo di definizione.
Se non erro dovrebbe essere per $y=arcsenx -2$
$-1 \leq x \leq 1$
e poi per la derivata
$-1 < x < 1$
Giusto?
Personalmente avendo quella derivata non capisco proprio come faccia, in ogni caso, ad annullarsi... il numeratore è 1!
Grazie.
$-1 \leq x \leq 1$
e poi per la derivata
$-1 < x < 1$
Giusto?
Personalmente avendo quella derivata non capisco proprio come faccia, in ogni caso, ad annullarsi... il numeratore è 1!
Grazie.
Devi pensare che l'annullarsi della derivata prima in un punto di massimo/minimo locale (in letteratura si chiama teorema di Fermat) è una condizione necessaria solo se ti trovi all'interno dell'intervallo di definizione. L'esempio più facile che mi viene in mente è questo:
Considera la retta $y(x) = x$ per $x \in [-1,1]$.
Hai che $y'(x) = 1 > 0$ identicamente nell'intervallo $(-1,1)$. Tuttavia $f(1) = 1 >= f(x) , \forall x \in [-1,1]$ e quindi $1$ è un massimo (assoluto).
Considera la retta $y(x) = x$ per $x \in [-1,1]$.
Hai che $y'(x) = 1 > 0$ identicamente nell'intervallo $(-1,1)$. Tuttavia $f(1) = 1 >= f(x) , \forall x \in [-1,1]$ e quindi $1$ è un massimo (assoluto).
Grazie, penso di aver capito!
In conclusione, la mia funzione è derivabile in $(-1;+1)$ poiché è il dominio della derivata $y'=1/sqrt(1-x^2)$
Però potrebbe avere dei minimi o massimi relativi in -1 o +1 dove non è derivabile visto che comunque lì è continua, il mio ragionamento è giusto?
In conclusione, la mia funzione è derivabile in $(-1;+1)$ poiché è il dominio della derivata $y'=1/sqrt(1-x^2)$
Però potrebbe avere dei minimi o massimi relativi in -1 o +1 dove non è derivabile visto che comunque lì è continua, il mio ragionamento è giusto?
Nì, potrebbe avere massimi e minimi agli estremi del dominio anche se in essi è continua e derivabile.
Pensa alla funzione $f(x)=x^2$ nell'intervallo $[1, 3]$, la derivata non si annulla nell'intervallo, tuttavia la funzione ha minimo in $1$ e massimo in $3$.
O alla funzione $f(x)=root(3)(x^2)$ nell'intervallo $[-1, 3]$, la derivata in $0$ non esiste, ma la funzione ha minimo in $0$ e massimo in $3$.
Pensa alla funzione $f(x)=x^2$ nell'intervallo $[1, 3]$, la derivata non si annulla nell'intervallo, tuttavia la funzione ha minimo in $1$ e massimo in $3$.
O alla funzione $f(x)=root(3)(x^2)$ nell'intervallo $[-1, 3]$, la derivata in $0$ non esiste, ma la funzione ha minimo in $0$ e massimo in $3$.
Ahhh sì è vero!
Quindi ricapitolando i passaggi da fare sarebbero:
-vedere dove la derivata prima vale 0;
-vedere dove la funzione non è derivabile;
-vedere gli estremi del Dominio
È corretto? A presto.
Quindi ricapitolando i passaggi da fare sarebbero:
-vedere dove la derivata prima vale 0;
-vedere dove la funzione non è derivabile;
-vedere gli estremi del Dominio
È corretto? A presto.
Adesso sì.
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