Minimi e massimi
Hi Guys! come va??? devo chiedervi come sempre un favore...sempre per quel che riguarda la mia tesina sulle bolle di sapone...sapreste indicarmi un bel sito internet in cui siano spiegate, in maniera non troppo accademica, lo studio della derivata e i minimi e i massimi??
Ahimè il mio libro è troppo palloso...
vi ringrazio in anticipo per la collaborazione e per la pazienza!
tanti saluti e, per chi ha la fortuna come me di avere una settimana di stop, BUONE VACANZE!!!
margotz
vedere un mondo in un
grano di sabbia
e un universo in un
fiore di campo,
possedere l'infinito sul
palmo della mano
e l'eternità in un'ora.
-William Blake-
Ahimè il mio libro è troppo palloso...
vi ringrazio in anticipo per la collaborazione e per la pazienza!
tanti saluti e, per chi ha la fortuna come me di avere una settimana di stop, BUONE VACANZE!!!
margotz
vedere un mondo in un
grano di sabbia
e un universo in un
fiore di campo,
possedere l'infinito sul
palmo della mano
e l'eternità in un'ora.
-William Blake-
Risposte
che vuol dire non in maniera accademica!!
la spiegazione è semplicissima:
1) fare la derivata prima.
2)studiare il segno della derivata prima;
sia xo un punto la cui derivata è nulla, possono presentarsi i seguenti casi:
i) f'(x)< 0 in un intorno sinistro di xo e f'(x)>0 in un intorno destro di xo; allora significa che xo è un punto di minimo.
ii)f'(x)>0 in un intorno sinistro di xo e f'(x)<0 in un intorno destro di xo; allora xo è un punto di massimo.
iii) f'(x)<0 in un intorno di xo; allora xo è un flesso a tangente orizzontale.
iv) f'(x)>0 in un intorno di xo: idem ut supra!
questo è tutto quello che c'è da sapere! spero di non essere stato troppo accademico!!
ciao, ubermensch
la spiegazione è semplicissima:
1) fare la derivata prima.
2)studiare il segno della derivata prima;
sia xo un punto la cui derivata è nulla, possono presentarsi i seguenti casi:
i) f'(x)< 0 in un intorno sinistro di xo e f'(x)>0 in un intorno destro di xo; allora significa che xo è un punto di minimo.
ii)f'(x)>0 in un intorno sinistro di xo e f'(x)<0 in un intorno destro di xo; allora xo è un punto di massimo.
iii) f'(x)<0 in un intorno di xo; allora xo è un flesso a tangente orizzontale.
iv) f'(x)>0 in un intorno di xo: idem ut supra!
questo è tutto quello che c'è da sapere! spero di non essere stato troppo accademico!!
ciao, ubermensch
cara margotz
spero di esserti utile dando una interpretazione del problema della ricerca dei massimi e minimi che non è quella ‘canonica’ ma che penso possa tornarti utile per semplificare le cose senza perdere in esattezza. È noto dall’analisi matematica che una funzione f(x) sufficientemente ‘regolare’ nell’intorno di un valore xo [ossia possiede finite le derivate di tutti gli ordini in xo] può essere in quell’intorno sviluppata in serie [ossia come somma di ‘infiniti termini’] nel modo seguente…
f(x)= f(xo) + (x-xo)*df/dx f(xo) + (x-xo)^2/2! * d^2/dx^2 (f(xo) +… + (x-xo)^n/n! * d^n/dx^n f(xo) +... (1)
Facciamo ora l’ipotesi che per x=xo sia f’(xo)=0 e f’’(xo) diversa da 0. In tal caso sarà…
f(x) = f(xo) + (x-xo)^2/2! * f’’(xo) +… (2)
… ossia in un certo intorno di xo la funzione assumerà ovunque valori inferiori o superiori a f(xo) a seconda che sia f’’(xo) negativa o positiva. Nel primo caso xo è un massimo di f(x), nel secondo caso un minimo. Naturalmente questo in generale è vero solo in un intorno di xo e nulla ci garantisce che la xo sia un massimo o minimo assoluto. Più in generale le stesse considerazioni valgono nel caso in cui nel punto xo si annullino le derivate fino al grado n-1 con n pari ma per semplicità consideriamo solo il caso quadratico. La ‘procedura standard’ per la ricerca dei massimi minimi [relativi] di una funzione f(x) comporta pertanto lo stabilire i valori di x per i quali si annulla la f’(x) e verificare dal segno corrispondete della f’’(x) se si tratta di un massimo oppure di un minimo. Una procedura alternativa ugualmente valida tuttavia comporta il trovare per f(x) una espressione della funzione simile alla (2), ma più generale, della forma…
f(x) = fo(x) + a* g
(x) (3)
… ove fo(x) è una funzione nota, a un numero diverso da 0 e g(x) una funzione di x non negativa. Se intendiamo in qualche modo ‘massimizzare’ o ‘minimizzare’ f(x) il problema si in ogni caso a trovare il mino di g (x), supponendo nel primo caso a<0, nel secondo a>0. Mi rendo conto di essere stato un poco ‘impreciso’ cara margotz, ma il funzionamento di questo modo di procedere ti sarà chiaro quando proveremo a risolvere il ‘problema isoperimetrico’ , ossia trovare la curva che, a parità di superficie racchiusa, ha lunghezza minima.
cordiali saluti!…
lupo grigio
spero di esserti utile dando una interpretazione del problema della ricerca dei massimi e minimi che non è quella ‘canonica’ ma che penso possa tornarti utile per semplificare le cose senza perdere in esattezza. È noto dall’analisi matematica che una funzione f(x) sufficientemente ‘regolare’ nell’intorno di un valore xo [ossia possiede finite le derivate di tutti gli ordini in xo] può essere in quell’intorno sviluppata in serie [ossia come somma di ‘infiniti termini’] nel modo seguente…
f(x)= f(xo) + (x-xo)*df/dx f(xo) + (x-xo)^2/2! * d^2/dx^2 (f(xo) +… + (x-xo)^n/n! * d^n/dx^n f(xo) +... (1)
Facciamo ora l’ipotesi che per x=xo sia f’(xo)=0 e f’’(xo) diversa da 0. In tal caso sarà…
f(x) = f(xo) + (x-xo)^2/2! * f’’(xo) +… (2)
… ossia in un certo intorno di xo la funzione assumerà ovunque valori inferiori o superiori a f(xo) a seconda che sia f’’(xo) negativa o positiva. Nel primo caso xo è un massimo di f(x), nel secondo caso un minimo. Naturalmente questo in generale è vero solo in un intorno di xo e nulla ci garantisce che la xo sia un massimo o minimo assoluto. Più in generale le stesse considerazioni valgono nel caso in cui nel punto xo si annullino le derivate fino al grado n-1 con n pari ma per semplicità consideriamo solo il caso quadratico. La ‘procedura standard’ per la ricerca dei massimi minimi [relativi] di una funzione f(x) comporta pertanto lo stabilire i valori di x per i quali si annulla la f’(x) e verificare dal segno corrispondete della f’’(x) se si tratta di un massimo oppure di un minimo. Una procedura alternativa ugualmente valida tuttavia comporta il trovare per f(x) una espressione della funzione simile alla (2), ma più generale, della forma…
f(x) = fo(x) + a* g
(x) (3)… ove fo(x) è una funzione nota, a un numero diverso da 0 e g
(x) una funzione di x non negativa. Se intendiamo in qualche modo ‘massimizzare’ o ‘minimizzare’ f(x) il problema si in ogni caso a trovare il mino di g (x), supponendo nel primo caso a<0, nel secondo a>0. Mi rendo conto di essere stato un poco ‘impreciso’ cara margotz, ma il funzionamento di questo modo di procedere ti sarà chiaro quando proveremo a risolvere il ‘problema isoperimetrico’ , ossia trovare la curva che, a parità di superficie racchiusa, ha lunghezza minima. cordiali saluti!…
lupo grigio
cara margotz
veniamo ora, come ti avevo anticipato, alla soluzione del ‘problema isoperimetrico’ che ti riporto nuovamente…
Si deve trovare una curva piana chiusa nel piano xy avente equazioni parametriche x=x(t) e y=y(t) con t1
(1)
...in modo che la sua lunghezza…
(2)
… sia minima.
E’ chiaro che non vi è alcuna limitazione al problema se ipotizziamo t1=0, t2=2
e A= . Per la natura del problema conviene operare non in coordinate cartesiane ma in coordinate polari, per cui poniamo…
x(t)= r(t) * cos
(t) y(t)= r(t) * sin (t) (3)
… col che i problema si riduce a trovare r(t) e(t). Andiamo per prima cosa a calcolare le derivate che compaiono nelle formule…
x’ = -r*sin + r’*cos
y’ = r*cos + r’*sin (4)
Andando a sostituire da prima nella (1) la funzione posta sotto il segno di integrale diviene…
x*y’ – x’*y = r*cos * (r*cos+r’*sin) + r*sin*(r*sin-r’*cos) = r (5)
… col che il vincolo diviene…
2
r dt = 2 (6)
0
La funzione posta sotto il segno di integrale nella (2) diviene invece…
x’ + y’ = r + r’ (7)
… col che risulta…
2
r + r’ dt = l (8)
0
Osserviamo per prima cosa che la variabile non compare esplicitamente nel problema che pertanto risulta essere invariante per rotazione. Se poi osserviamo la (8) è facile comprendere che il valore minimo dell’integrale corrisponde, tenendo conto del vincolo (6) che impone il valore di r, ad minimizzare io valore di r’ e questo si ha per…
r’=0 (9)
La (9) è una semplice equazione differenziale che viene risolta per semplice integrazione ed ha per soluzione r=c, essendo c una costante arbitraria. Il vincolo (6) consente di concludere che c=1, per cui l’equazione parametrica si riduce alla semplice r=1, che corrisponde ad un cerchio centrato nell’origine e di raggio 1.
Semplice, no?…
cordiali saluti!…
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 26/02/2004 09:51:44
veniamo ora, come ti avevo anticipato, alla soluzione del ‘problema isoperimetrico’ che ti riporto nuovamente…
Si deve trovare una curva piana chiusa nel piano xy avente equazioni parametriche x=x(t) e y=y(t) con t1
(1)...in modo che la sua lunghezza…
(2)… sia minima.
E’ chiaro che non vi è alcuna limitazione al problema se ipotizziamo t1=0, t2=2
e A= . Per la natura del problema conviene operare non in coordinate cartesiane ma in coordinate polari, per cui poniamo… x(t)= r(t) * cos
(t) y(t)= r(t) * sin (t) (3)… col che i problema si riduce a trovare r(t) e
(t). Andiamo per prima cosa a calcolare le derivate che compaiono nelle formule…x’ = -r*sin
+ r’*cos y’ = r*cos
+ r’*sin (4)Andando a sostituire da prima nella (1) la funzione posta sotto il segno di integrale diviene…
x*y’ – x’*y = r*cos
* (r*cos+r’*sin) + r*sin*(r*sin-r’*cos) = r (5)… col che il vincolo diviene…
2
r dt = 2 (6)0
La funzione posta sotto il segno di integrale nella (2) diviene invece…
x’ + y’ = r + r’ (7)… col che risulta…
2
r + r’ dt = l (8)0
Osserviamo per prima cosa che la variabile
non compare esplicitamente nel problema che pertanto risulta essere invariante per rotazione. Se poi osserviamo la (8) è facile comprendere che il valore minimo dell’integrale corrisponde, tenendo conto del vincolo (6) che impone il valore di r, ad minimizzare io valore di r’ e questo si ha per…r’=0 (9)
La (9) è una semplice equazione differenziale che viene risolta per semplice integrazione ed ha per soluzione r=c, essendo c una costante arbitraria. Il vincolo (6) consente di concludere che c=1, per cui l’equazione parametrica si riduce alla semplice r=1, che corrisponde ad un cerchio centrato nell’origine e di raggio 1.
Semplice, no?…
cordiali saluti!…
lupo grigio
Modificato da - lupo grigio il 26/02/2004 09:51:44
caro ubermensch...ti ringrazio, so anchío che e tutto molto semplice ma io dovevo spiegarlo in maniera non troppo accademica e, diciamo, piü intuitiva, in quanto porterö alla maturitä una tesina sulle bolle di sapone e dovrö spiegare il tutto in modo da riuscire ad attrarre l´attenzione anche di chi non sa nulla o quasi di matematica!
ovviamente grazie lupo grigio...mi sei sempre di grandissimo aiuto!! se avrö ancora bisogno ti farö sapere...
!!
saluti a tutti e...visto che stö scrivendo dalla germania e la tastiera e´diversa...leggete le vocali con i due puntini (pesndo si chiami umlaut ma non so come si scriva!) come vocali accentate!
margotz
ovviamente grazie lupo grigio...mi sei sempre di grandissimo aiuto!! se avrö ancora bisogno ti farö sapere...
!!saluti a tutti e...visto che stö scrivendo dalla germania e la tastiera e´diversa...leggete le vocali con i due puntini (pesndo si chiami umlaut ma non so come si scriva!) come vocali accentate!
margotz
*quote:
caro ubermensch...
...visto che stö scrivendo dalla germania e la tastiera e´diversa...leggete le vocali con i due puntini ...
peccato, ti è scappata la favolosa occasione di scrivere il nome di uebermensch
con i due puntini (über) senza acrobazie sulla tastiera!
tony
cara margotz
qualche giorno fa mi è capitato casualmente di trovare su di in sito matematico americano [http://mathworld.wolfram.com/DoubleBubble.html] un file che ritengo interessantissimo per il lavoro che stai portando avanti e che vorrei segnalare alla tua attenzione. Esso fa parte di una sezione dedicata ai ‘solved problems’, ossia ai problemi che nel corso dei secoli hanno trovato soluzione, e tratta specificatamante il problema della doppia bolla. L’aspetto più interessante [e anche sorprendente…] di quello che vi è riportato è il fatto che questo problema ha trovato soluzione solo in tempi assai recenti e che essa ha richiesto un considerevole sforzo. Ti traduco l’inizio della pagina…
Una doppia bolla è costituita da una coppia di bolle unite insieme e separate da un setto. La forma usuale è rappresentata nella figura sopra[…]
Nel piano l’analogo della doppia bolla consiste nell’insieme di tre archi circolari aventi due punti in comune. È stato dimostrato [Alfaro e altri 1993, Morgan 1995] che nel caso di aree uguali nei punti di intersezione i tre archi formano tre angoli uguali di 120°.
E’ stata avanzata inoltre la congettura che nel caso di due bolle di egual volume [o area] l’area della superficie [o il perimetro della curva] che le contiene è minore rispetto a qualunque altro caso. Questa congettura è stata dimostrata da Hass e altri [1995] che hanno ridotto il problema alla soluzione di un sistema di 200.260 integrali [gulp!!!…] da essi eseguita tramite un ordinario PC […]
Come ben puoi vedere, cara margotz, in apparenza sembra si sia trattato di un problema formidabile la cui soluzione ha richiesto colossali sforzi. E così, da buon bastian contrario, mi sono chiesto se le cose stanno veramente così e se per caso non esiste una trattazione del problema più semplice e alla portata di tutti. Siccome sono convinto che sia così quello che ti propongo è aprire insieme un topic dedicato al problema delle bolle in generale con l’intento di impostare la cosa in modo ‘semplice’ pur ottenendo e confermando i risultati già noti. In ogni caso può satarne materiale utile alla tua tesina. Che ne pensi?…
lupo grigio
qualche giorno fa mi è capitato casualmente di trovare su di in sito matematico americano [http://mathworld.wolfram.com/DoubleBubble.html] un file che ritengo interessantissimo per il lavoro che stai portando avanti e che vorrei segnalare alla tua attenzione. Esso fa parte di una sezione dedicata ai ‘solved problems’, ossia ai problemi che nel corso dei secoli hanno trovato soluzione, e tratta specificatamante il problema della doppia bolla. L’aspetto più interessante [e anche sorprendente…] di quello che vi è riportato è il fatto che questo problema ha trovato soluzione solo in tempi assai recenti e che essa ha richiesto un considerevole sforzo. Ti traduco l’inizio della pagina…
Una doppia bolla è costituita da una coppia di bolle unite insieme e separate da un setto. La forma usuale è rappresentata nella figura sopra[…]
Nel piano l’analogo della doppia bolla consiste nell’insieme di tre archi circolari aventi due punti in comune. È stato dimostrato [Alfaro e altri 1993, Morgan 1995] che nel caso di aree uguali nei punti di intersezione i tre archi formano tre angoli uguali di 120°.
E’ stata avanzata inoltre la congettura che nel caso di due bolle di egual volume [o area] l’area della superficie [o il perimetro della curva] che le contiene è minore rispetto a qualunque altro caso. Questa congettura è stata dimostrata da Hass e altri [1995] che hanno ridotto il problema alla soluzione di un sistema di 200.260 integrali [gulp!!!…] da essi eseguita tramite un ordinario PC […]
Come ben puoi vedere, cara margotz, in apparenza sembra si sia trattato di un problema formidabile la cui soluzione ha richiesto colossali sforzi. E così, da buon bastian contrario, mi sono chiesto se le cose stanno veramente così e se per caso non esiste una trattazione del problema più semplice e alla portata di tutti. Siccome sono convinto che sia così quello che ti propongo è aprire insieme un topic dedicato al problema delle bolle in generale con l’intento di impostare la cosa in modo ‘semplice’ pur ottenendo e confermando i risultati già noti. In ogni caso può satarne materiale utile alla tua tesina. Che ne pensi?…
lupo grigio
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