Mi potreste risolvere questi due problemi di algebra? Uno con le equazioni di secondo grado e uno con la geometria analitica? Grazie!

[Alessio1996]

Quello con le equaz. di 2°grado è "Una canna di bambu alta 24 m è spezzata dal vento in modo che la sua cima tocca il terreno in un punto che dista dalla base della canna 3 m in piu' della distanza dal terreno del punto in cui la canna si è spezzata. A quale altezza dal terreno si è spezzata la canna?" Soluzione 9 m quello con geometria analitica "Determina per quali valori di k il punto di intersezione delle rette di equazioni x-2y+1=0 e 2x-y=0 appartiene alla retta di equazione kx-y+1"

[BIT5]

la canna di bambu', toccando terra, forma un triangolo rettangolo (di cui la parte della canna che tocca terra e' un cateto, il pezzo spezzato e' l'ipotenusa, mentre la distanza tra la base della canna e la punta e' l'altro cateto.

un cateto sara' x (la canna di bambu')
l'altro cateto sara x+3 (la distanza tra base della canna e punta)

pertanto l'ipotenusa (il pezzo di canna spezzato) sara'

[math] i= \sqrt{x^2+(x+3)^2} = \sqrt{x^2+x^2+6x+9} = \sqrt{2x^2+6x+9} [/math]

la somma di cateto e ipotenusa (tutta la canna di bambu') sara' 24m

quindi cateto + ipotenusa = 24 m

[math] x + \sqrt{2x^2+6x+9} = 24 \to \sqrt{2x^2+6x+9} = 24-x [/math]

elevi tutto al quadrato (la radice se ne va)

[math] 2x^2+6x+9=(24-x)^2 \to 2x^2+6x+9=576-48x+x^2 [/math]

porti tutto a sinistra

[math] 2x^2+6x+9-576+48x-x^2=0 \to x^2+54x-567=0 [/math]

risolvi (con la formula ridotta)

[math] x_{1,2} = - 27 \pm \sqrt{27^2-(-567)} = - 27 \pm \sqrt{1296} = - 27 \pm 36 [/math]

da cui

[math] x_1 = -27+36 = 9 [/math]

[math] x_2 = -27-36 = -63 [/math]

il secondo risultato non e' accettabile, dal momento che la canna non potra' avere una lunghezza negativa (tantomeno un pezzo di questa, che x rappresenta)

pertanto la canna si e' spezzata in un pezzo da 9m e uno da 15.
La distanza della punta dalla base sara' 9+3=12

2) trova il punto di intersezione tra le retta:

[math] \{ x-2y+1=0 \\ 2x-y=0 [/math]

da cui

[math] \{x-2y+1=0 \\ y=2x [/math]

sostituisci la seconda alla prima

[math] x-4x+1=0 \to -3x=-1 \to x= \frac13 [/math]

e quindi

[math] y=2x = \frac23 [/math]

affinche' il punto appartenga alla retta del fascio, il punto ne soddisfera' l'equazione

sostituisci dunque al fascio le coordinate del punto trovato

otterai

k(1/3)-2/3+1=0

quindi

[math] \frac13 k = \frac23 - \frac33 [/math]

quindi

[math] \frac13 k = - \frac13 [/math]

da cui k=-1

la retta del fascio sara'

-1x-y+1=0 ovvero -x-y+1=0 quindi x+y-1=0 (in forma implicita)

y=-x+1 in forma esplicita