Mi potete spiegare queste derivate? per favoree

[kathrinbergmann]

1. (2tg x/2)/(1+tg^2 x/2)
2. radq(x)/(e^x^2)
3. xlnx/radqx
4. (1-tg^2x)/(1+tg^2x)

[Fabien]

Ciao.

Cominciamo con la prima funzione:

[math]f(x)=\frac{2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}[/math]

.
ma prima di derivare vediamo se l'espressione si semplifica con le formule trigonometriche. La funzione

[math]\tan(\frac{x}{2})[/math]

si può esprimere in più modi, ad esempio

[math]\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}[/math]

con

[math] \alpha \neq 180^{\circ} + k360^{\circ}[/math]

.
Sostituendo all'espressione di partenza:

[math]f(x)=\frac{2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{2\frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{1+\frac{(1-\cos(\alpha))^2}{\sin^2(\alpha)}}=\frac{2\frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{1+\frac{(1-2\cos(\alpha)+\cos^2(\alpha))}{\sin^2(\alpha)}}=\frac{2\frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{\frac{\sin^2(\alpha)+(1-2\cos(\alpha)+\cos^2(\alpha))}{\sin^2(\alpha)}}=[/math]

.
Dalla relazione fondamentale della trigonometria

[math]\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1[/math]

ricaviamo:

[math]=\frac{2\frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{\frac{2(1-\cos(\alpha))}{\sin^2(\alpha)}}=\sin(\alpha)[/math]

.
La derivata è quindi

[math]f'(x)=\cos(\alpha)[/math]

----
La seconda funzione è

[math]f(x)=\frac{\sqrt{x}}{e^{x^2}}=\sqrt{x}e^{-x^2}[/math]

Ci serve la derivata di un prodotto di due funzioni

[math]g(x)[/math]

e

[math]h(x)[/math]

ed è data da:

[math]f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)[/math]

.
e la derivata di una funzione composta del tipo

[math]f(x)=g({h(x)})[/math]

, cioè:

[math]f'(x)=g'({h(x)})\cdot h'(x)[/math]

.

Nel nostro caso calcoliamo a parte la funzione

[math]h(x)=e^{-x^2}[/math]

, dalla derivata di una funzione composta deriviamo l'esponenziale e poi la funzione che c'è all'esponente:

[math]h'(x)=e^{-x^2}\cdot (-2x)[/math]

.
mentre la derivata

[math]g(x)=\sqrt{x}[/math]

è

[math]g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}[/math]

.
Quindi dalla derivata di un prodotto di due funzioni si ottiene

[math]f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot e^{-x^2}+\sqrt{x}\cdot(e^{-x^2}\cdot (-2x))[/math]

.

[math]f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot e^{-x^2}-2x\sqrt{x}\cdot e^{-x^2}[/math]

Raccogliendo

[math]e^{-x^2}[/math]

si ha:

[math]f'(x)=e^{-x^2}\cdot(\frac{1}{2\sqrt{x}}-2x\sqrt{x})=e^{-x^2}(\frac{1-4x^2}{2\sqrt{x}})[/math]

-----
Passiamo alla terza funzione

[math]f(x)=\frac{x \log{x}}{\sqrt{x}}[/math]

Facendo una razionalizzazione ci portiamo una espressione più agevole

[math]f(x)=\sqrt{x} \log{x}[/math]

Anche in qusto caso interviene la derivata di un prodotto. Calcoliamo a parte le derivate della radice e del logaritmo, posto

[math]g(x)=\sqrt{x}[/math]

e

[math]h(x)=\log{x}[/math]

, abbiamo

[math]g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}[/math]

e

[math]h'(x)=\frac{1}{x}[/math]

Applicando la regola della derivata di un prodotto:

[math]f'(x)=\frac{\log{x}}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}[/math]

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Passiamo all'ultima funzione:

[math]f(x)=\frac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}[/math]

Conviene semplificare l'espressione utilizzando le formule trigonometriche applicando la definizione di tangente:

[math]f(x)=\frac{1-\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}{1+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}[/math]

.
Elaborando l'espressione precedente si ottiene

[math]f(x)=\frac{\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x}}{\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x}}=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\sin^2x+\cos^2x}=\cos(2x)[/math]

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sfruttando il fatto che al denominatore si applica la relazione fondamentale della trigonometria, al numeratore si usa la formula di duplicazione del coseno.
Adesso basta utilizzare la derivata di una funzione composta

[math]f'(x)=g'(h(x))h'(x)[/math]

.
in conclusione

[math]f'(x)=-2\sin(2x)[/math]

Spero sia stato di aiuto e che sia chiaro il procedimento.

[kathrinbergmann]

grazie mille!