Mi potete aiutare con questo problema di geometria analitica?
I punti a)e b) sono riuscita a svolgerli , ma non capisco il punto c). Grazie del tempo che potrete dedicarmi.
Data l'ellisse di equazione 16x^2+25y?2=400, determinare:
a) l'equazione della retta AB, essendo A e B i vertici dell'ellisse di ascissa e ordinata positive;
b) le equazioni delle rette parallele ad AB che hanno dai fuochi dell'ellisse distanza uguale alla lunghezza del segmento AB;
c) detto F il fuoco di ascissa positiva, sull'arco AB dell'ellisse posto nel 1°quadrante, un punto P tale che il quadrilatero OFPB abbia area uguale a k.
Data l'ellisse di equazione 16x^2+25y?2=400, determinare:
a) l'equazione della retta AB, essendo A e B i vertici dell'ellisse di ascissa e ordinata positive;
b) le equazioni delle rette parallele ad AB che hanno dai fuochi dell'ellisse distanza uguale alla lunghezza del segmento AB;
c) detto F il fuoco di ascissa positiva, sull'arco AB dell'ellisse posto nel 1°quadrante, un punto P tale che il quadrilatero OFPB abbia area uguale a k.
Risposte
c) l'ellisse data, scritta nella sua forma canonica
sarà
I fuochi dell'ellisse sono
nel nostro caso
L'arco AB ha come estremi i punti A (5,0) e B(0,4) ovvero rispettivamente
Dato un punto P sull'arco, avremo un quadrilatero la cui Area sarà data dalla somma dell'Area del triangolo OFB (che è fisso e non varia) e del triangolo FPB.
Pertanto
come richiesto dall'esercizio
Il triangolo OFB ha Area
e pertanto
vediamo i casi limite:
se P coincide con A, avremo un triangolo di base 5 e altezza 4 (il triangolo FPA avrà area 4, essendo la base FA=2 e l'altezza 4)
Nel caso in cui il punto P coincida con B, allora l'area di FAB sarà 0, e l'area del quadrilatero coinciderà con l'Area di FBO.
Adesso vediamo come calcolare l'area del triangolo FPB al variare di P.
Il triangolo FPB avrà come base la distanza tra F e P e come altezza la distanza tra il punto B e la base FP.
Il punto P appartiene all'ellisse, e pertanto, detto
Dei due valori, considereremo solo quello con il + davanti, visto che siamo nel 1° quadrante)
La distanza tra il punto P e il punto F sarà
che dovrebbe venire (ricontrolla i calcoli)
dal momento che il numeratore è
(ovviamente con
Questa è la base del triangolo.
Ora dovrai trovare l'equazione della retta passante per P e F e la distanza tra questa retta e il punto B. otterrai così l'altezza del triangolo..
Prova a vedere se riesci, scrivere tutti i conti qui è lunghissimo!
Al massimo posta se ti blocchi di nuovo!
[math] \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1[/math]
sarà
[math] \frac{x^2}{5^2}+ \frac{y^2}{4^2}=1[/math]
I fuochi dell'ellisse sono
[math] F( \pm c,0) \ c= \pm \sqrt{a^2-b^2} [/math]
nel nostro caso
[math] c= \pm \sqrt{25-16}= \pm 3 [/math]
L'arco AB ha come estremi i punti A (5,0) e B(0,4) ovvero rispettivamente
[math] A(a,0) \ B(0,b) [/math]
Dato un punto P sull'arco, avremo un quadrilatero la cui Area sarà data dalla somma dell'Area del triangolo OFB (che è fisso e non varia) e del triangolo FPB.
Pertanto
[math] A_{OFB}+A_{FPA}=k [/math]
come richiesto dall'esercizio
Il triangolo OFB ha Area
[math] A= \frac{3 \cdot 4}{2}=6 [/math]
e pertanto
[math] 6+ A_{FPA}=k [/math]
vediamo i casi limite:
se P coincide con A, avremo un triangolo di base 5 e altezza 4 (il triangolo FPA avrà area 4, essendo la base FA=2 e l'altezza 4)
[math] 6+4=k \to k=10 [/math]
[math] P(5,0) [/math]
Nel caso in cui il punto P coincida con B, allora l'area di FAB sarà 0, e l'area del quadrilatero coinciderà con l'Area di FBO.
[math]k=6 [/math]
[math] P(0,4) [/math]
Adesso vediamo come calcolare l'area del triangolo FPB al variare di P.
Il triangolo FPB avrà come base la distanza tra F e P e come altezza la distanza tra il punto B e la base FP.
Il punto P appartiene all'ellisse, e pertanto, detto
[math] x_0 [/math]
l'ascissa del punto P, la sua ordinata sarà (dall'ellisse) [math] \pm \sqrt{ \frac{400-16x_0^2}{25}} [/math]
ovvero, raccogliendo e semplificando [math] \pm \frac{4}{5} \sqrt{25-x^2} [/math]
Dei due valori, considereremo solo quello con il + davanti, visto che siamo nel 1° quadrante)
La distanza tra il punto P e il punto F sarà
[math] \sqrt{(3-x_0)^2+(0- \frac{4}{5} \sqrt{25-x_0^2})^2 [/math]
che dovrebbe venire (ricontrolla i calcoli)
[math]\sqrt{ \frac{9x^2-150x+625}{25}} [/math]
dal momento che il numeratore è
[math]9x^2-150x+625=(3x-25)^2[/math]
la distanza sarà dunque [math] \frac{3x-25}{5} [/math]
(ovviamente con
[math] 0 \le x \le 5 [/math]
per i casi limite)Questa è la base del triangolo.
Ora dovrai trovare l'equazione della retta passante per P e F e la distanza tra questa retta e il punto B. otterrai così l'altezza del triangolo..
Prova a vedere se riesci, scrivere tutti i conti qui è lunghissimo!
Al massimo posta se ti blocchi di nuovo!
Ciao, grazie milleee di avermi risposto.
Non ho capito una cosa però: quando faccio la distanza Tra la retta PF e il punto B, si suppone che BP sia perpendicolare a PF. perchè BP è perpendicolare a FP? grazie ancora
Non ho capito una cosa però: quando faccio la distanza Tra la retta PF e il punto B, si suppone che BP sia perpendicolare a PF. perchè BP è perpendicolare a FP? grazie ancora
La distanza tra un punto e una retta è la distanza minima che esiste tra il punto e gli infiniti punti della retta.
Tale distanza è proprio il segmento appartenente alla perpendicolare.
Tale distanza è proprio il segmento appartenente alla perpendicolare.
ciao, grazie di avermi chiarito il dubbio.
ma se io faccio la distanza tra la retta PF e un altro punto qualsiasi P, la distanza appartiene sempre alla perpendicolare? ad esempio, potevo applicare la formula della distanza tra la retta PF e un punto diverso da B?
ma se io faccio la distanza tra la retta PF e un altro punto qualsiasi P, la distanza appartiene sempre alla perpendicolare? ad esempio, potevo applicare la formula della distanza tra la retta PF e un punto diverso da B?
Si, quando calcoli la distanza tra un punto e una retta qualunque, la distanza appartiene SEMPRE alla perpendicolare, perchè la distanza tra un punto e una retta è SEMPRE la distanza perpendicolare (cioè la minore tra punto e retta)
:move:move:lol:hi:lol:hiOk, grazie di tutto.
posso chiudere?
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