Metodo Parabola fissa per equazioni goniometriche parametriche

[Bombadil]

Salve! stavo risolvendo delle equazioni goniometriche parametriche dove il libro consiglia l'utilizzo del metodo della parabola fissa ma mi blocco prima della conclusione.
Il testo dice:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
(k+1)\cos^2x+\cos x =2k
\\
\frac{\pi}{3} \end{matrix}\right. \)

ora come prima cosa imposto \(\displaystyle t=\cos x \) così che la condizione diventi \(\displaystyle 0 \le t < \frac{1}{2} \)
e l'equazione \(\displaystyle (k+1)t^2+t=2k \)

ora uso il metodo della parabola fissa perciò metto a sistema con \(\displaystyle y=t^2 \) e ho

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
(k+1)y+t =2k
\\
0\le t < \frac{1}{2}
\\
y=t^2
\end{matrix}\right. \)

ora le rette generatrici che ottendo dalla prima equazione scritta come \(\displaystyle k(y-2)+y+t=0 \) sono (spero)
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
y=2
\\
y=-t
\end{matrix}\right. \)

con centro \(\displaystyle C\left ( -2,2 \right ) \)

ecco a questo punto cosa dovrei fare? so che mi rimane da trovare l'intervallo di k e quante soluzioni ci sono all'interno ma non ho capito il ragionamento che c'è dietro. Grazie

[@melia]

disegna la parabola nella quale metti in evidenza l'arco $0<=t<1/2$, trova le rette del fascio passanti per gli estremi dell'arco, la soluzione sarà data dai k compresi tra le due soluzioni.