Metodo di risoluzione derivata
Buonagiorno ^^ Qualcuno potrebbe gentilmente darmi una dritta su come svolgere la derivata di questa funzione $ f(x)= 2e^(-1/(x+1))((x^2+3x+1)/((1+x^2))) $ non riesco proprio a far tornare il risultato...
Risposte
Ciao FemtoGinny 
, hai un prodotto di funzioni, quindi devi fare la derivata di $e^(-1/(x+1))$ moltiplicata per la funzione fratta+ derivata della funzione fratta moltiplicata per l'esponenziale.
$(f(x)*g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
. Buona giornata
, hai un prodotto di funzioni, quindi devi fare la derivata di $e^(-1/(x+1))$ moltiplicata per la funzione fratta+ derivata della funzione fratta moltiplicata per l'esponenziale.$(f(x)*g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
. Buona giornata
Tutto quanto moltiplicato per 2, giusto? Però non riesco a calcolare correttamente la derivata della funzione fratta... continua a risultarmi $ f'(x)=(1-x)/(1+x)^3 $ mentre invece dovrebbe essere $ f'(x)=(-3(1-x))/(1+x)^3 $ ti sarei enormemente grata se potessi spiegarmi dove sbaglio ho provato a svolgerla millemila volte :s
ho provato a svolgerla millemila volte :s
Ti applico la formula della derivata del prodotto
$ f'(x)= 2e^(-1/(x+1))1/(x+1)^2((x^2+3x+1)/((1+x^2)))+2e^(-1/(x+1))((2x+3)(x^2+1)-2x(x^2+3x+1))/((1+x^2)^2 $
sai continuare? credo di sì
$ f'(x)= 2e^(-1/(x+1))1/(x+1)^2((x^2+3x+1)/((1+x^2)))+2e^(-1/(x+1))((2x+3)(x^2+1)-2x(x^2+3x+1))/((1+x^2)^2 $
sai continuare? credo di sì
Dunque , la teoria dice che:
\begin{equation}
(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}
\end{equation}
Se osservi bene la funzione fratta la puoi scrivere anche così:
\begin{equation}
(\frac{f(x)}{g(x)})'=(f(x)\cdot g(x)^{-1})'=f'(x)g(x)^{-1}-f(x)g(x)^{-2}g'(x)
\end{equation}
Nel tuo caso: $f(x)=x^2+3x+1$, $g(x)=1+x^2$
Quindi: $f'(x)=2x+3$, $g'(x)=2x$
Mettendo insieme il tutto si ha:
Primo metodo
\begin{equation}
\frac{(2x+3)(x^2+1)-(x^2+3x+1)2x}{(x^2+1)^2}
\end{equation}
Secondo metodo:
\begin{equation}
\frac{(2x+3)}{(x^2+1)}-\frac{(x^2+3x+1)2x}{(x^2+1)^2}
\end{equation}
, la teoria dice che:\begin{equation}
(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}
\end{equation}
Se osservi bene la funzione fratta la puoi scrivere anche così:
\begin{equation}
(\frac{f(x)}{g(x)})'=(f(x)\cdot g(x)^{-1})'=f'(x)g(x)^{-1}-f(x)g(x)^{-2}g'(x)
\end{equation}
Nel tuo caso: $f(x)=x^2+3x+1$, $g(x)=1+x^2$
Quindi: $f'(x)=2x+3$, $g'(x)=2x$
Mettendo insieme il tutto si ha:
Primo metodo
\begin{equation}
\frac{(2x+3)(x^2+1)-(x^2+3x+1)2x}{(x^2+1)^2}
\end{equation}
Secondo metodo:
\begin{equation}
\frac{(2x+3)}{(x^2+1)}-\frac{(x^2+3x+1)2x}{(x^2+1)^2}
\end{equation}
Mannaggia, c'è un errore di battitura al denominatore...perdonami :S non è $ 1+x^2 $ ma $ (1+x)^2 $ ...ed e anche quello che mi fa sballare i calcoli :S grazie della pazienza
E scusa davvero l'errore.. potresti soltanto spiegarmi come fare con la versione che ti ho postato ora? Ti farò un monumento giuro xD
tranquilla capita a tutti. La derivata di $(1+x)^2$ è $2(1+x)$ quindi............. lascio a te il divertimento
Ok ho provato a seguire il tuo metodo ma ottengo sempre lo stesso risultato sbagliato :S cioè senza il -3 
$ f'(x)= (2x+3)/(1+x)^2-(x^2+3x+1)/(1+x)^4*2(1+x)= (1-x)/(1+x)^3 $ questa derivata mi perseguita, maledetta! Proprio sotto esame
SOS!
$ f'(x)= (2x+3)/(1+x)^2-(x^2+3x+1)/(1+x)^4*2(1+x)= (1-x)/(1+x)^3 $ questa derivata mi perseguita, maledetta! Proprio sotto esame
SOS!
"FemtoGinny":
Ok ho provato a seguire il tuo metodo ma ottengo sempre lo stesso risultato sbagliato :S cioè senza il -3
$ f'(x)= (2x+3)/(1+x)^2-(x^2+3x+1)/(1+x)^4*2(1+x)= (1-x)/(1+x)^3 $ questa derivata mi perseguita, maledetta! Proprio sotto esame
Se ti riferisci alla derivata della funzione $f(x)=(x^2+3x+1)/(1+x)^2$
il tuo calcolo è corretto
Allora deve esserci un errore nel risultato "ufficiale", altrimenti non si spiega! Menomale, è un sollievo enorme grazie mille ragazzi, davvero ^^
grazie mille ragazzi, davvero ^^
Ricapitolando:
\begin{equation}
f(x)=2e^{-\frac{1}{x+1}}\frac{x^2+3x+1}{(x+1)^2}
\end{equation}
$ f'(x)= 2e^(-1/(x+1))1/(x+1)^2((x^2+3x+1)/((1+x)^2))+2e^(-1/(x+1))(1-x)/(1+x)^3 $
\begin{equation}
f(x)=2e^{-\frac{1}{x+1}}\frac{x^2+3x+1+(1-x)(1+x)}{(x+1)^4}=2e^{-\frac{1}{x+1}}\frac{x^2+3x+1+1-x^2}{(x+1)^4}=
\end{equation}
\begin{equation}
=2e^{-\frac{1}{x+1}}\frac{3x+2}{(x+1)^4}=e^{-\frac{1}{x+1}}\frac{6x+4}{(x+1)^4}
\end{equation}
Se hai domande chiedi pure
\begin{equation}
f(x)=2e^{-\frac{1}{x+1}}\frac{x^2+3x+1}{(x+1)^2}
\end{equation}
$ f'(x)= 2e^(-1/(x+1))1/(x+1)^2((x^2+3x+1)/((1+x)^2))+2e^(-1/(x+1))(1-x)/(1+x)^3 $
\begin{equation}
f(x)=2e^{-\frac{1}{x+1}}\frac{x^2+3x+1+(1-x)(1+x)}{(x+1)^4}=2e^{-\frac{1}{x+1}}\frac{x^2+3x+1+1-x^2}{(x+1)^4}=
\end{equation}
\begin{equation}
=2e^{-\frac{1}{x+1}}\frac{3x+2}{(x+1)^4}=e^{-\frac{1}{x+1}}\frac{6x+4}{(x+1)^4}
\end{equation}
Se hai domande chiedi pure
Non c'è di che. Buona domenica e buona san valentino
Tutto torna, finalmente *0* ahahaha grazie anche a te, l'amore per la matematica è tornato in grande stile xD
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