Metodo della discesa infinita
Recentemente ho letto su un libro:"Per provare che l'equazione $x^4+y^4=z^4$ non aveva alcuna soluzione Fermat ipotizzò che invece avesse una soluzione che era x=X1 y=Y1 e z=Z1.Esaminando le proprietà di queste soluzioni fermat poteva dimostrare che se questa soluzione esisteva allora sarebbe potuta esistere una soluzione più piccola con x=X2 y=Y2 e z=Z2 e così di seguito. Fermat aveva scoperto una discesa infinita di soluzioni che teoricamente sarebbe continuata all'infinito generando sempre nuove soluzioni più piccole.Ma x,y e z devono essere numeri interi e in questo modo la discesa senza fine è impossibile perchè deve esserci la più piccola delle soluzioni. Questa contraddizione prova che l'ipotesi iniziale per cui deve esistere una soluzione è falsa".Ora io mi chiedo: Fermat assume che esista una soluzione ed il fatto che la discesa continui all'infinito e non si fermi a questa soluzione (che deve essere la più piccola) ipotetica dimostra che la soluzione ipotizzata non esiste.Il procedimento però non è macchinoso? se io lo volessi applicare all'equazione $x^2+y^2=z^2$ non otterrei sempre una discesa infinita? certo potrei osservare che essa si ferma a x=3,y=4 e z=5 ma come fa Fermat ad ezssere sicuro che $x^4+y^4=z^4$ abbia infinite soluzioni con numeri interi (o meglio perchè lo ipotizza)ed inoltre perchè questo suo metodo non può essere applicato agli altri casi?
Risposte
Non conosco la dimostrazione della non esistenza di soluzioni per
$X^4+Y^4=Z^4$.
Anzi, se la hai da qualche parte, segnalamela.
La domanda riguardo l'applicabilità della discesa infinita, beh, mi viene da dirti che dipende dai casi.
Alcuni problemi possono essere risolti con la discesa infinita, altri no.
Così come il Teorema di Pitagora può risolvermi un problema di geometria, e non calcolarmi una derivata.
Per un risposta migliore, dimmi se hai la dim. di quella cosa.
Ciao!
$X^4+Y^4=Z^4$.
Anzi, se la hai da qualche parte, segnalamela.
La domanda riguardo l'applicabilità della discesa infinita, beh, mi viene da dirti che dipende dai casi.
Alcuni problemi possono essere risolti con la discesa infinita, altri no.
Così come il Teorema di Pitagora può risolvermi un problema di geometria, e non calcolarmi una derivata.
Per un risposta migliore, dimmi se hai la dim. di quella cosa.
Ciao!
Purtroppo non ho la dimostrazione della discesa infinita per il caso $x^4+y^4=z^4$. Sto leggendo un libro intitolato l'ultimo teorema di Fermat in cui l'autore dice che Fermat ha risolto questo particolare caso utilizzando il metodo della discesa infinita e scrive letteralmente quello che prima ho postato tra virgolette.Su un altro libro I grandi matematici di Bell ho letto,di nuovo, che Fermat ha risolto questo particolare caso utilizzando la discesa infinita.Sempre nei grandi matematici di Bell ho letto una importante osservazione sulla discesa infinita che ti riporto letteralmente(a parlare all'inizio è Fermat):"di modo che quando quando mi fu necessario dimostrare che qualunque numero primo che sorpassa di una unità un multiplo di 4 è composto di due quadrati mi trovai in una grande difficoltà(...)se un numero primo preso a discrezione che sorpassa dell'unità un multiplo di 4 non è composto di due quadrati ci sarà un numero primo della stessa natura,più piccolo di quello dato, e per conseguenza un terzo numero,ancora più picolo,e così via dicendo all'infinito fino ad arrivare al numero 5che è il più piccolo di tutti quelli di questa natura(4n+1) e che si direbbe non fosse composto di due quadrati mentre tuttavia lo è.Da ciò si deve arguire per assurdo che tutti i numeri di questa natura sono composti di due quadrati".Ora in questo caso il procedimento funziona ma nel caso di $x^4+y^4=z^4$ come può funzionare se Fermat non conosce nessuna delle più piccole soluzioni?
"rofellone":
se io lo volessi applicare all'equazione $x^2+y^2=z^2$ non otterrei sempre una discesa infinita?
No: la dimostrazione che esiste una soluzione più piccola valeva per l'altra equazione ma evidentemente non per questa, altrimenti sarebbe giusta la tua obiezione e non ci sarebbero soluzioni. Come nota Steven, per essere più precisi bisognerebbe conoscere la dimostrazione data da Fermat
Confesso che ho letto anch'io quel libro.
Comunque,a parte questo, una ricerca su google con << Fermat "infinite descent" >> produce come primo risultato questa
pagina
http://www.mathpages.com/home/kmath288.htm
che mi pare sia alquanto pertinente. Fermat ha addirittura dimostrato la non esistenza di soluzioni per
$x^4+y^4=z^2$.
Comunque,a parte questo, una ricerca su google con << Fermat "infinite descent" >> produce come primo risultato questa
pagina
http://www.mathpages.com/home/kmath288.htm
che mi pare sia alquanto pertinente. Fermat ha addirittura dimostrato la non esistenza di soluzioni per
$x^4+y^4=z^2$.
Grazie per la segnalazione: se apprendo qualcosa di nuovo vi farò sapere.
Un'ottima lettura(studio 
) collaterale è nel volumetto introduttivo e compendiario di Gabriele Lolli "guida alla Teoria degli insiemi" :tratta molto distesamente dell'induzione sia come componente della teoria assiomatica sia come metodo di dimostrazione (per conseguenza) nel caso dei numenri naturali e di altre famiglie di sottoinsiemi limitati inferiormente e/o superiormente di $ZZ$.
Peraltro chiarisce bene il fatto che l'equivalenza logica fra questi risultati è circoscritta a questa famiglia di insiemi e nn si puo' generalizzare(anzi,estendendo lo studio della teoria degli insiemi induttivi si vede che l'equivalenza si indebolisce in una implicazione monodirezionale).Infinie,a proposito del metodo della discesa infinita,Lolli presenta alcune interessanti osservazioni critiche in merito.
http://it.scribd.com/doc/79215335/Lolli ... onvergenze
) collaterale è nel volumetto introduttivo e compendiario di Gabriele Lolli "guida alla Teoria degli insiemi" :tratta molto distesamente dell'induzione sia come componente della teoria assiomatica sia come metodo di dimostrazione (per conseguenza) nel caso dei numenri naturali e di altre famiglie di sottoinsiemi limitati inferiormente e/o superiormente di $ZZ$.Peraltro chiarisce bene il fatto che l'equivalenza logica fra questi risultati è circoscritta a questa famiglia di insiemi e nn si puo' generalizzare(anzi,estendendo lo studio della teoria degli insiemi induttivi si vede che l'equivalenza si indebolisce in una implicazione monodirezionale).Infinie,a proposito del metodo della discesa infinita,Lolli presenta alcune interessanti osservazioni critiche in merito.
http://it.scribd.com/doc/79215335/Lolli ... onvergenze
http://www.mat.uniroma3.it/users/fontan ... ap_3-2.pdf
http://calvino.polito.it/~gatto/public/papers/SF.pdf
http://loi.sc.unica.it/tesi/tesiSManca.pdf
proviamo a vedere questi link per ricercare la strategia "filologica" che potrebbe aver seguito Fermat (mi pare di ricordare che come sua abitudine si sia limitato a enunciare il risultato nei margini della sua copia dell'Aritmetica di Diofanto...) applicando il principio della discesa infinita.
http://calvino.polito.it/~gatto/public/papers/SF.pdf
http://loi.sc.unica.it/tesi/tesiSManca.pdf
proviamo a vedere questi link per ricercare la strategia "filologica" che potrebbe aver seguito Fermat (mi pare di ricordare che come sua abitudine si sia limitato a enunciare il risultato nei margini della sua copia dell'Aritmetica di Diofanto...) applicando il principio della discesa infinita.
infine un'ultima osservazione a margine... quando cerchiamo soluzioni per questo genere di equazioni diofantee in $NN$ intendiamo ovviamente soluzioni diverse da quelle banali (e' ovvio che 0 $in$ $NN$ e dunque (0,0,0) e' ovviamente soluzione banale dell'equazione considerata ).
$x^4+y^4=z^2$. anche in questo caso si puo' considerare la soluzione "banale" (x,y,z)=(2,0,4).Imponendo la condizione che le soluzioni siano tutte positive si ottengono gli esiti di non esistenza dedotti da Fermat
.
$x^4+y^4=z^2$. anche in questo caso si puo' considerare la soluzione "banale" (x,y,z)=(2,0,4).Imponendo la condizione che le soluzioni siano tutte positive si ottengono gli esiti di non esistenza dedotti da Fermat
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