Medie pazzerelle

[sagrest]

Il titolo è veramente obbrobrioso ma non mi veniva in mente nessun'altro titolo.
E' da un mese che provo a risolvere questo problema ma non ci sono ancora riuscito. Mi arrendo.

Si prendono due gruppi di numeri tale che abbiano cifre differenti (per esempio nel primo gruppo 3 cifre e nel secondo 4).
Si fa la media tra tutti i numeri.
Successivamente si fa la media dei numeri del primo gruppo e DOPO la media di quelli del secondo gruppo (si dovrebbero ottenere due numeri). Si fa la media tra i due numeri ottenuti. Il numero ottenuto è differente dalla media precedente.

Domande:

a) Perchè le medie non sono uguali? (spiegare dettagliatamente)
b) E' possibile prevedere "di quanto" sono sballate?
c) Perchè se il numero delle cifre del primo gruppo coincide col numero delle cifre del secondo gruppo, le medie vengono uguali?

Grazie mille,
Green_Hat

Aggiunto 20 ore 3 minuti più tardi:

Scusami ma faccio ancora prima liceo scientifico (sono alla fine dell'anno) e siamo arrivati ai sistemi lineari di primo grado.
Non ho idea di cosa sia quella specie di E (credo si chiami sommatoria ma non ho idea di cosa sia), e non so cosa significa il simbolo [\nt??].

A presto,
Green_Hat.

P.S.
Non è un compito ma è una curiosità che è venuta a me così..

Aggiunto 20 ore 20 minuti più tardi:

CAPITO!!!

Grazie mille,
Green_Hat.

P.S.
L'unica cosa riguardante le sommatorie.. cosa sarebbe 'k'?

[ciampax]

Dunque, vediamo. Indichiamo con

[math]A=\{a_1,\ldots,a_n\} \qquad \qquad B=\{b_1,\ldots,b_m\}[/math]

i due gruppi di numeri. Indichiamo poi con

[math]M=\frac{a_1+\ldots+a_n+b_1+\ldots+b_m}{n+m}[/math]

la media di tutti i numeri e con

[math]M_A=\frac{a_1+\ldots+a_n}{n},\qquad M_B=\frac{b_1+\ldots+b_m}{m}[/math]

le medie dei due insiemi. Quello che otteniamo, dal testo dell'esercizio è che

[math]M\not = \frac{M_A+M_B}{2}[/math]

Infatti se chiamiamo

[math]a=\sum_{k=1}^n a_k,\ b=\sum_{k=1}^m b_k[/math]

valgono le seguenti identità

[math]M(n+m)=a+b,\qquad nM_A=a,\qquad nM_B=b[/math]

per cui tra le medie intercorre la relazione

[math]M(n+m)=nM_A+mM_b\ \Rightarrow\ M=\frac{nM_A+mM_b}{n+m}[/math]

che come vedi dice che, in generale, la media complessiva non è la media delle due medie. Se vogliamo che sia

[math]M=\frac{M_A+M_B}{2}[/math]

allora deve essere

[math]\frac{M_A+M_B}{2}=\frac{nM_A+mM_B}{n+m}\ \Rightarrow\ (n+m)(M_A+M_B)=2nM_A+2mM_B[/math]

per cui si ricava

[math](m-n)M_A=(m-n)M_B\ \Rightarrow\ M_A=M_B[/math]

(ovviamente se

[math]n\not = m[/math]

, altrimenti l'identità precedente è sempre verificata).

A questo punto, se ci ragioni un po, dovrebbe essere semplice rispondere ai quesiti (ti ho dato tutti gli ingredienti necessari). Prova e fammi sapere.

Aggiunto 21 ore 24 minuti più tardi:

Sì, quella specie di E si chiama sommatoria ed indica semplicemente la somma di tutti i termini del tipo che la seguono. il simbolo \nt per qualche strano motivo dovrebbe essere un "diverso" che (a causa di qualche problema, credo) non viene visualizzato correttamente.