Meccanica dei fluidi
Premetto ke la meccanica dei fluidi l'ho appena sfiorata quindi siate sufficientementi chiari nella soluzione.Grazie in anticipo a chiunque avrà il tempo e la pazienza di aiutarmi!
1]Una sfera cava di raggio interno 9cm e raggio esTerno 10 cm galleggia immersa per metà in un liquido di densità relativa 0,8.
a)Calcolare la densità del materiale di cui è costituita la sfera[1,48g/cm^3]
b)Ke densità deve avere il liquido affinkè la sfera cava galleggi completamente immersa[0,40g/cm^3]
2]Una boa cilindrica di 1400 kg galleggia restando verticale in acqua salata(d=1,03g/cm^3).Il diametro della boa è 0,8m.
Di quanto affonda ulterirmente quando un ragazzo di massa 60 kg sta sulla cima?[11,6cm]
Quanto vale il periodo del moto armonico semplice verticale ke si ha quando il ragazzo si tuffa in acqua?[3,3sec]
1]Una sfera cava di raggio interno 9cm e raggio esTerno 10 cm galleggia immersa per metà in un liquido di densità relativa 0,8.
a)Calcolare la densità del materiale di cui è costituita la sfera[1,48g/cm^3]
b)Ke densità deve avere il liquido affinkè la sfera cava galleggi completamente immersa[0,40g/cm^3]
2]Una boa cilindrica di 1400 kg galleggia restando verticale in acqua salata(d=1,03g/cm^3).Il diametro della boa è 0,8m.
Di quanto affonda ulterirmente quando un ragazzo di massa 60 kg sta sulla cima?[11,6cm]
Quanto vale il periodo del moto armonico semplice verticale ke si ha quando il ragazzo si tuffa in acqua?[3,3sec]
Risposte
Il primo problema e’ elementare:
Il volume di liquido spostato con meta’ della sfera immersa
e’ evidentemente meta’ del volume della sfera stessa.
Quindi detto Re il raggio esterno si ha V=(4*pi*Re^3)/6.
Il peso di questo liquido (di peso specifico 0.80 g/cm^3) e’
P=V*0.8=1676 g, quindi questo e’ anche il peso della sfera.
Poiche’ la sfera e’ cava, (con raggio interno Ri) il volume
del materiale che la costituisce e’ Vm=4*pi*(Re^3-Ri^3)/3.
Quindi densita’ del materiale della sfera= P/Vm=1.476 g/cm^3
Se la sfera fosse invece completamente immersa, si dovrebbe
dedurre che il peso specifico del liquido e’ la meta’ di quello
precedente, cioe’ 0.40 g/cm^3.
Un po’ piu’ complesso e’ invece il secondo problema.
Ma prima di affrontarlo, devo dire che qualcosa nei dati
non mi torna.
Perche' galleggi (sporgendo un poco), la densita' della boa
deve essere inferiore a quella del liquido.
Supponiamo ad es. che sia =1 g/cm^3, allora ad un peso di 1400 kg
dovrebbe equivalere un volume di 1400 dm^3. Ma se il diametro e'
8 dm, allora la lunghezza dovrebbe essere Vol/pi*r^2 = 27.85 dm,
(quasi 3 m!) e tenderebbe a disporsi in orizzontale.
Se il peso fosse 140 kg, la cosa sarebbe piu' plausibile.
Per calcolare poi l'effettivo peso specifico della boa, occorrerebbe
sapere qualcosa di piu' (ad es. di quanto sporge dall'acqua).
Puoi verificare i dati?
Il volume di liquido spostato con meta’ della sfera immersa
e’ evidentemente meta’ del volume della sfera stessa.
Quindi detto Re il raggio esterno si ha V=(4*pi*Re^3)/6.
Il peso di questo liquido (di peso specifico 0.80 g/cm^3) e’
P=V*0.8=1676 g, quindi questo e’ anche il peso della sfera.
Poiche’ la sfera e’ cava, (con raggio interno Ri) il volume
del materiale che la costituisce e’ Vm=4*pi*(Re^3-Ri^3)/3.
Quindi densita’ del materiale della sfera= P/Vm=1.476 g/cm^3
Se la sfera fosse invece completamente immersa, si dovrebbe
dedurre che il peso specifico del liquido e’ la meta’ di quello
precedente, cioe’ 0.40 g/cm^3.
Un po’ piu’ complesso e’ invece il secondo problema.
Ma prima di affrontarlo, devo dire che qualcosa nei dati
non mi torna.
Perche' galleggi (sporgendo un poco), la densita' della boa
deve essere inferiore a quella del liquido.
Supponiamo ad es. che sia =1 g/cm^3, allora ad un peso di 1400 kg
dovrebbe equivalere un volume di 1400 dm^3. Ma se il diametro e'
8 dm, allora la lunghezza dovrebbe essere Vol/pi*r^2 = 27.85 dm,
(quasi 3 m!) e tenderebbe a disporsi in orizzontale.
Se il peso fosse 140 kg, la cosa sarebbe piu' plausibile.
Per calcolare poi l'effettivo peso specifico della boa, occorrerebbe
sapere qualcosa di piu' (ad es. di quanto sporge dall'acqua).
Puoi verificare i dati?
I dati sono sufficienti. Indicando con x l'altezza della parte immersa e con ro la densità si ha:
FA = P ===> ro*g*V = Mg ===> ro*pi*r^2*x = M
Ricavando x si ottiene:
x = M/(ro*pi*r^2) = 2,704 m.
Variando la massa della boa essa affonderà di un ulteriore tratto y.
Utilizzando la stessa relazione si ha:
ro*pi*r^2*(x + y) = M + m
da cui:
y = (M + m)/(ro*pi*r^2) - x = 2,82 - 2,704 = 0,116 m.
FA = P ===> ro*g*V = Mg ===> ro*pi*r^2*x = M
Ricavando x si ottiene:
x = M/(ro*pi*r^2) = 2,704 m.
Variando la massa della boa essa affonderà di un ulteriore tratto y.
Utilizzando la stessa relazione si ha:
ro*pi*r^2*(x + y) = M + m
da cui:
y = (M + m)/(ro*pi*r^2) - x = 2,82 - 2,704 = 0,116 m.
x MaMo
Il problema non specifica com’e’ fatta la boa:
poteva ad es. essere considerata un cilindro a densita’ uniforme.
Da qui la mia obiezione sull’eccessiva lunghezza (non si e’ mai
visto un tronco d’albero galleggiare in posizione verticale!).
Tu l’hai considerato un cilindro cavo di spessore infinitesimo
e con tutto il peso concentrato sul fondo, eliminando cosi’ la
variabile del suo peso specifico.
Prendiamo per buona questa interpretazione, e quindi i risultati
ottenuti.
Ma il problema chiede anche di determinare il periodo di oscillazione,
quando la boa viene alleggerita del peso aggiunto (60 kg).
Questa parte e' concettualmente piu' complessa, poiche' richiede di
impostare e risolvere un'equazione differenziale del secondo ordine.
Attendo di vedere come la risolvete.
Poi inviero' la soluzione ottenuta al computer.
Il problema non specifica com’e’ fatta la boa:
poteva ad es. essere considerata un cilindro a densita’ uniforme.
Da qui la mia obiezione sull’eccessiva lunghezza (non si e’ mai
visto un tronco d’albero galleggiare in posizione verticale!).
Tu l’hai considerato un cilindro cavo di spessore infinitesimo
e con tutto il peso concentrato sul fondo, eliminando cosi’ la
variabile del suo peso specifico.
Prendiamo per buona questa interpretazione, e quindi i risultati
ottenuti.
Ma il problema chiede anche di determinare il periodo di oscillazione,
quando la boa viene alleggerita del peso aggiunto (60 kg).
Questa parte e' concettualmente piu' complessa, poiche' richiede di
impostare e risolvere un'equazione differenziale del secondo ordine.
Attendo di vedere come la risolvete.
Poi inviero' la soluzione ottenuta al computer.
G.schgor non ti seguo...Ke la boa si trova in posizione verticale è un dato del problema.
E poi il fatto che la boa sia in posizione orrinzotale cambia qualcosa?
Grazie per la disponibilità
E poi il fatto che la boa sia in posizione orrinzotale cambia qualcosa?
Grazie per la disponibilità
quote:
... E poi il fatto che la boa sia in posizione orrinzotale cambia qualcosa? [JvloIvk]
perbacco se cambia!
cambia la legge che dà l'incremento di spinta in funz. dell'incremento di affondamento; per il cilindro verticale parzialmente immerso è costante, per quello orizzontale è ben più complicata.
e direi che da quel rapporto dipende la "costante elastica" del moto armonico (per cil. vertic.) della boa.
tony
Ma 1l=1dm^3 per qualunque sostanza?
abbastanza sì
sono misure di volume
sono misure di volume
Ho atteso alcuni giorni una risposta al secondo problema.
Ero interessato a vedere come veniva risolto, poiche’ non
mi risulta che al liceo si studino le equazioni differenziali
(ma posso non essere aggiornato).
Cmq il problema e’ stato posto e tento di dare una soluzione,
sperando di essere chiaro.
La boa e’ in equilibrio statico quando il suo fondo e’ a
–2.704 m (quota che chiameremo h), ma in conseguenza
dell’aggiunta di 60 kg, ha raggiunto un nuovo equilibrio a
-2.82 m (quota y(0)). Se questo carico vien tolto (col tuffo)
vi e’ uno squilibrio di forze applicato alla massa della boa.
Sappiamo che F=M*a (l’accelerazione ‘a’ della massa ‘M’
dipemde da ‘F’), ma sappiamo anche che l’accelerazione e’
la derivata seconda (y’’) della posizione (y), e che F e’ la
differenza fra la spinta dovuta alla posizione effettiva e
quella di equilibrio statico (che uguaglia il peso della boa).
Le due spinte possono essere calcolate come Volume*Peso
Specifico, mentre la massa M e’ il peso diviso l’accelerazione
di gravita’ (g=9.81 m/s^2).
Riunendo in un solo coefficiente k tutti i vari parametri costanti,
si ha in definitiva: y’’= k*(h-y)
Questa e’ un’equazione differenziale che puo’ essere risolta in
vari modi. Qui e’ stato scelto di applicare l’integrazione numerica
perche’ e’ la piu’ intuitiva e puo’ essere svolta da un calcolatore.
In pratica si tratta di sommare i valori ricavati ad ogni intervallo
di tempo (dt = 0.01 s). L’integrazione si riduce quindi all’aggiunta
al valore dell’istante precedente di un rettangolino dell’integrando.
Ed ecco lo svolgimento in Mathcad:
Qualche spiegazione:
Perche’ i calcoli siano fatti simultaneamente per le varabili in gioco
occorre utilizzare una struttura a matrice, in cui y2 e’ la derivata
seconda, y1 la derivata prima e y0 la posizione (fondo della boa).
Dal grafico si vede che partendo dalla posizione iniziale , si ha
un’oscillazione cosinusoidale attorno al valore di equilibrio h
e che il periodo di questa oscillazione e’ 3.3 s (la soluzione richiesta
dal problema).
Il calcolo trascura l’effetto degli attriti, per cui l’oscillazione
durerebbe all’infinito. Nella realta’ si ha uno ‘smorzamento’ per cui
l’ampiezza delle osclllazioni si riduce fino a diventare trascurabile.
Se non e’ abbastanza chiaro, chiedete pure.
Ero interessato a vedere come veniva risolto, poiche’ non
mi risulta che al liceo si studino le equazioni differenziali
(ma posso non essere aggiornato).
Cmq il problema e’ stato posto e tento di dare una soluzione,
sperando di essere chiaro.
La boa e’ in equilibrio statico quando il suo fondo e’ a
–2.704 m (quota che chiameremo h), ma in conseguenza
dell’aggiunta di 60 kg, ha raggiunto un nuovo equilibrio a
-2.82 m (quota y(0)). Se questo carico vien tolto (col tuffo)
vi e’ uno squilibrio di forze applicato alla massa della boa.
Sappiamo che F=M*a (l’accelerazione ‘a’ della massa ‘M’
dipemde da ‘F’), ma sappiamo anche che l’accelerazione e’
la derivata seconda (y’’) della posizione (y), e che F e’ la
differenza fra la spinta dovuta alla posizione effettiva e
quella di equilibrio statico (che uguaglia il peso della boa).
Le due spinte possono essere calcolate come Volume*Peso
Specifico, mentre la massa M e’ il peso diviso l’accelerazione
di gravita’ (g=9.81 m/s^2).
Riunendo in un solo coefficiente k tutti i vari parametri costanti,
si ha in definitiva: y’’= k*(h-y)
Questa e’ un’equazione differenziale che puo’ essere risolta in
vari modi. Qui e’ stato scelto di applicare l’integrazione numerica
perche’ e’ la piu’ intuitiva e puo’ essere svolta da un calcolatore.
In pratica si tratta di sommare i valori ricavati ad ogni intervallo
di tempo (dt = 0.01 s). L’integrazione si riduce quindi all’aggiunta
al valore dell’istante precedente di un rettangolino dell’integrando.
Ed ecco lo svolgimento in Mathcad:
Qualche spiegazione:
Perche’ i calcoli siano fatti simultaneamente per le varabili in gioco
occorre utilizzare una struttura a matrice, in cui y2 e’ la derivata
seconda, y1 la derivata prima e y0 la posizione (fondo della boa).
Dal grafico si vede che partendo dalla posizione iniziale , si ha
un’oscillazione cosinusoidale attorno al valore di equilibrio h
e che il periodo di questa oscillazione e’ 3.3 s (la soluzione richiesta
dal problema).
Il calcolo trascura l’effetto degli attriti, per cui l’oscillazione
durerebbe all’infinito. Nella realta’ si ha uno ‘smorzamento’ per cui
l’ampiezza delle osclllazioni si riduce fino a diventare trascurabile.
Se non e’ abbastanza chiaro, chiedete pure.
problema 2
diario di un liceale del classico, ignaro di derivate e di equazioni differenziali.
moto della boa
[1] so che la spinta di Archimede è proporzionale al volume della parte immersa di un corpo; F=rho_liquido*g*V
[2] ragionando, vedo che se il corpo è cilindrico o prismatico verticalmente, e ha sezione orizzontale costante S, la spinta è proporzionale all'immersione raggiunta: F=-rho_liq*g*S*z (con z=quota immersa del fondo dell'oggetto; asse z ===> alto)
[3] noto con stupore che questa espressione è formalmente identica alla F=-kx della forza elastica, ponendo k=rho_liq*g*S (come se l'acqua avesse qualcosa di elastico! [:D][:D])
[4] devo credere (non avendo ancora le conoscenze sufficienti a seguire le considerazioni matematiche da cui deriva) ad una legge propinatami dai prof a proposito delle forza elastica:
"un punto materiale di massa m soggetto a forza elastica di costante k si muove di moto armonico di periodo T=2*pi*sqrt(m/k); il punto di partenza determina la fase e l'ampiezza della sinusoide"
[5] ne deduco che, analogamente, la boa semi-immersa si muove verticalmente di moto armonico con periodo T=2*piPsqrt[m/(rho_liq*g*S)]
[6] e, con i dati del problema, T=2*pi*sqrt[1400/(1030*9.81*pi*(.8/2)^2)] = 3.3 s circa, c.v.d.
[7] ampiezza e fase non sono richieste [:)].
tony
diario di un liceale del classico, ignaro di derivate e di equazioni differenziali.
moto della boa
[1] so che la spinta di Archimede è proporzionale al volume della parte immersa di un corpo; F=rho_liquido*g*V
[2] ragionando, vedo che se il corpo è cilindrico o prismatico verticalmente, e ha sezione orizzontale costante S, la spinta è proporzionale all'immersione raggiunta: F=-rho_liq*g*S*z (con z=quota immersa del fondo dell'oggetto; asse z ===> alto)
[3] noto con stupore che questa espressione è formalmente identica alla F=-kx della forza elastica, ponendo k=rho_liq*g*S (come se l'acqua avesse qualcosa di elastico! [:D][:D])
[4] devo credere (non avendo ancora le conoscenze sufficienti a seguire le considerazioni matematiche da cui deriva) ad una legge propinatami dai prof a proposito delle forza elastica:
"un punto materiale di massa m soggetto a forza elastica di costante k si muove di moto armonico di periodo T=2*pi*sqrt(m/k); il punto di partenza determina la fase e l'ampiezza della sinusoide"
[5] ne deduco che, analogamente, la boa semi-immersa si muove verticalmente di moto armonico con periodo T=2*piPsqrt[m/(rho_liq*g*S)]
[6] e, con i dati del problema, T=2*pi*sqrt[1400/(1030*9.81*pi*(.8/2)^2)] = 3.3 s circa, c.v.d.
[7] ampiezza e fase non sono richieste [:)].
tony
Quindi bisognava invertarsi una molla [:D]...
quote:
Quindi bisognava invertarsi una molla [:D]... [JvloIvk]
se intendevi "inventarsi", ti dico che ero convinto che la molla venisse studiata prima della meccanica dei fluidi.
[a] - in caso negativo, ovviamente, il mio suggerimento di risolvere la boa "copiando" quel che si sapeva della molla, non avendo alcun senso, non va preso in considerazione
- in caso positivo, la molla non era da "inventare", ma da "ricordare", tirandone un filo di collegamento;
come in tutti i molti casi di analogie tra la sostanza di problemi diversi (anche di discipline diverse), che in apparenza sembra non abbiano nulla in comune.
tony
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