MCD e mcm
Un albero di Natale è addobbato con tre file di luci intermittenti:
Fila A: Accesa 3 secondi e spenta 5
Fila B: Accesa 2 secondi e spenta 2
Fila C: Accesa 4 secondi e spenta 2
Quesiti:
1) Se le luci partono accendendosi insieme, dopo quanti secondi si riaccenderanno insieme?
2) Tra la prima accensione comune e la successiva, quanti intervalli di buio ci sono? Di che durata?
Rispetto ai due quesiti sopra evidenziati, il primo è di semplice risoluzione, in quanto basta calcolare il mcm tra 8, 4 e 6.
Invece rispetto al quesito numero 2, mi é chiara una risoluzione grafica del problema, cioè allineando tre segmenti con colori alternati per spento e acceso e guardando quando sono tutti e tre spenti.
Però rispetto al quesito 2 non mi sovviene una risoluzione matematica del quesito, magari usando MCD o mcm e chiaramente scomposizioni in primi, visto che il problema é tratto da una sezione con questi argomenti
Fila A: Accesa 3 secondi e spenta 5
Fila B: Accesa 2 secondi e spenta 2
Fila C: Accesa 4 secondi e spenta 2
Quesiti:
1) Se le luci partono accendendosi insieme, dopo quanti secondi si riaccenderanno insieme?
2) Tra la prima accensione comune e la successiva, quanti intervalli di buio ci sono? Di che durata?
Rispetto ai due quesiti sopra evidenziati, il primo è di semplice risoluzione, in quanto basta calcolare il mcm tra 8, 4 e 6.
Invece rispetto al quesito numero 2, mi é chiara una risoluzione grafica del problema, cioè allineando tre segmenti con colori alternati per spento e acceso e guardando quando sono tutti e tre spenti.
Però rispetto al quesito 2 non mi sovviene una risoluzione matematica del quesito, magari usando MCD o mcm e chiaramente scomposizioni in primi, visto che il problema é tratto da una sezione con questi argomenti
Risposte
A parte l'ovvia considerazione che il momento prima della riaccensione contemporanea delle tre luci c'è il buio, non mi viene in mente altro se non il fatto che lo "schema" dura quanto il mcm e la distribuzione dei momenti di luce e di buio all'interno dello schema dipende dalla sequenza di ogni luce (se ci fosse un divisore comune tra tutte e tre probabilmente ci sarebbe un sotto-schema)
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"axpgn":
A parte l'ovvia considerazione che il momento prima della riaccensione contemporanea delle tre luci c'è il buio, non mi viene in mente altro se non il fatto che lo "schema" dura quanto il mcm e la distribuzione dei momenti di luce e di buio all'interno dello schema dipende dalla sequenza di ogni luce (se ci fosse un divisore comune tra tutte e tre probabilmente ci sarebbe un sotto-schema)
Cordialmente, Alex
Ti ringrazio per la velocissima risposta. Mi fa solo molto strano che nn esista una metodologia di calcolo per arrivare alla soluzione. A livello grafico é molto semplice, basta fare 3 linee di 24 quadretti ciascuno evidenziando con due colori quando acceso o spento.
Detto questo se qualcuno ha idee, diciamo così algebriche per risolvere il quesito mi farebbe cortesia.
Grazie.
"AlephZero74":
Mi fa solo molto strano che nn esista una metodologia di calcolo per arrivare alla soluzione. A livello grafico é molto semplice, basta fare 3 linee di 24 quadretti ciascuno evidenziando con due colori quando acceso o spento.
Sì, ma proprio osservando lo schema che ne vien fuori (tre colonne diverse in Excel) vedi, anzi NON vedi, un qualche altro sotto-schema; non solo, se modifichi i parametri di una delle luci, per esempio la prima da 3-5 a 4-4, apparentemente più regolare, invece lo è ancor meno
Vediamo chi trova la risposta
Cordialmente, Alex
Ciao @AlephZero74 e ciao anche @Alex, ovviamente.
Purtroppo non so rispondere alla tua domanda e mi scuso se mi intrometto nel post, ma vorrei chiederti gentilmente se puoi dirmi da dove hai tratto questo esercizio, per una curiosità personale, grazie e, come sempre,
saluti
Purtroppo non so rispondere alla tua domanda e mi scuso se mi intrometto nel post, ma vorrei chiederti gentilmente se puoi dirmi da dove hai tratto questo esercizio, per una curiosità personale, grazie e, come sempre,
saluti
Credo che questo problema (con sue varianti) sia presente su buona parte dei testi di prima superiore, specialmente dei licei.
Disegniamo:
[asvg]xmin=-1; xmax=24; ymin=0; ymax = 2.5;
axes(1,4,"",1,4,"");
strokewidth=10;
stroke="red"; line([0,0],[3,0]); line([8,0],[11,0]); line([16,0],[19,0]); line([24,0],[27,0]);
stroke="cyan"; line([0,1],[2,1]); line([4,1],[6,1]); line([8,1],[10,1]); line([12,1],[14,1]); line([16,1],[18,1]); line([20,1],[22,1]); line([24,1],[26,1]);
stroke="yellow"; line([0,2],[4,2]); line([6,2],[10,2]); line([12,2],[16,2]); line([18,2],[22,2]); line([24,2],[26,2]);
stroke="black"; line([3,0],[8,0]); line([11,0],[16,0]); line([19,0],[24,0]);
line([2,1],[4,1]); line([6,1],[8,1]); line([10,1],[12,1]); line([14,1],[16,1]); line([18,1],[20,1]); line([22,1],[24,1]);
line([4,2],[6,2]); line([10,2],[12,2]); line([16,2],[18,2]); line([22,2],[24,2]);
strokewidth=2;
marker="arrow"; line([11.5,0],[11.5,2.5]); line([23,0],[23,2.5]);
text([11.5,2.5],"1 sec", above);
text([23,2.5], "2 sec", above);
text([0,0], "Fila 1", aboveleft);
text([0,1], "Fila 2", aboveleft);
text([0,2], "Fila 3", aboveleft);[/asvg]
Dal disegno si evince che la prima fila è spenta negli intervalli:
[list=A][*:3mgblono] $[3,8]$, $[11,16]$, ..., $[8n - 5, 8n]$, ... di durata $5$.[/*:m:3mgblono][/list:o:3mgblono]
La seconda e la terza, invece, sono contemporaneamente spente negli intervalli:
[list=1][*:3mgblono] $[10, 12]$, $[22, 24]$, ..., $[12k - 2, 12k]$, ... di durata $2$.[/*:m:3mgblono][/list:o:3mgblono]
Gli intervalli di tipo A e quelli di tipo 1 possono sovrapporsi in tre modi diversi:
[asvg]xmin=-1; xmax=24; ymin=0; ymax = 2.5;
axes(1,4,"",1,4,"");
strokewidth=10;
stroke="red"; line([0,0],[3,0]); line([8,0],[11,0]); line([16,0],[19,0]); line([24,0],[27,0]);
stroke="cyan"; line([0,1],[2,1]); line([4,1],[6,1]); line([8,1],[10,1]); line([12,1],[14,1]); line([16,1],[18,1]); line([20,1],[22,1]); line([24,1],[26,1]);
stroke="yellow"; line([0,2],[4,2]); line([6,2],[10,2]); line([12,2],[16,2]); line([18,2],[22,2]); line([24,2],[26,2]);
stroke="black"; line([3,0],[8,0]); line([11,0],[16,0]); line([19,0],[24,0]);
line([2,1],[4,1]); line([6,1],[8,1]); line([10,1],[12,1]); line([14,1],[16,1]); line([18,1],[20,1]); line([22,1],[24,1]);
line([4,2],[6,2]); line([10,2],[12,2]); line([16,2],[18,2]); line([22,2],[24,2]);
strokewidth=2;
marker="arrow"; line([11.5,0],[11.5,2.5]); line([23,0],[23,2.5]);
text([11.5,2.5],"1 sec", above);
text([23,2.5], "2 sec", above);
text([0,0], "Fila 1", aboveleft);
text([0,1], "Fila 2", aboveleft);
text([0,2], "Fila 3", aboveleft);[/asvg]
Dal disegno si evince che la prima fila è spenta negli intervalli:
[list=A][*:3mgblono] $[3,8]$, $[11,16]$, ..., $[8n - 5, 8n]$, ... di durata $5$.[/*:m:3mgblono][/list:o:3mgblono]
La seconda e la terza, invece, sono contemporaneamente spente negli intervalli:
[list=1][*:3mgblono] $[10, 12]$, $[22, 24]$, ..., $[12k - 2, 12k]$, ... di durata $2$.[/*:m:3mgblono][/list:o:3mgblono]
Gli intervalli di tipo A e quelli di tipo 1 possono sovrapporsi in tre modi diversi:
- [*:3mgblono] totalmente, quando quelli di tipo $A$ sono contengono quelli di tipo 1; ciò accade solo se:
$\{(8n - 5 <= 12 k - 2), (12 k <= 8n):} <=> 0<= 8n - 12k <=3$;
ma, a ben vedere[nota]Il numero intero $8n-12k$ è compreso tra $0$ e $3$ solo se esso è uguale a $0$, $1$, $2$ o $3$. Ma $8n-12k != 1,3$ perché è differenza di numeri pari e risulta $8n-12k=2 <=> 4n-6=1$ e quest'ultima relazione è impossibile perché $4n-6k$ è differenza tra numeri pari; dunque l'unica alternativa praticabile è $8n-12k=0$.[/nota], l'unica alternativa possibile è che $8n-12k = 0$, ossia che $2n=3k$, ossia che $n=3nu$ e $k=2nu$ con $nu >=1$.
Ne viene che gli intervalli A del tipo $[24nu - 5, 24nu]$ contengono gli intervalli 1 del tipo $[24nu-2, 24nu]$ per ogni $nu >= 1$ e dunque le lampadine sono contemporaneamente spente in tutti gli intervalli:
$[24 nu - 2, 24 nu]$ con $nu >=1$
(di durata $2$);
[/*:m:3mgblono]
[*:3mgblono] solo nella metà sinistra dell'intervallo 1, ciò accade quando:
$\{(12k - 2 <= 8n), (8n <=12 k):} <=> 0<= 12 k - 8n <= 2$;
e di nuovo l'unica alternativa possibile sarebbe $12k - 8n = 0$, ma ciò è impossibile perché conduce al caso precedente;
[/*:m:3mgblono]
[*:3mgblono] solo nella metà destra dell'intervallo 1, ciò accade quando:
$\{(12k - 2 <= 8n - 5), (8n - 5 <=12 k):} <=> 3 <= 8n - 12k <= 5$;
in questo caso l'unica alternativa possibile è $8n - 12k = 4 <=> 2n - 3k = 1 <=> 2n = 3k + 1$; quest'ultima relazione è possibile solo se $k = 2nu - 1$ e dà $n= 3nu - 1$, con $nu >=1$.
Ne viene che gli intervalli di tipo A $[24 nu - 13, 24 nu - 8]$ contengono la metà destra degli intervalli di tipo 1 $[24 nu - 14, 24 nu - 12]$ e perciò le lampadine sono spente in ogni intervallo del tipo:
$[24nu - 13, 24 nu - 12]$ con $nu >= 1$
(di durata $1$).[/*:m:3mgblono][/list:u:3mgblono]
Dalla presenza di $24nu$ in ognuno degli intervalli calcolati segue che il fenomeno osservato è periodico di periodo $T=24 " sec"$, cioè i due intervalli di buio (quello di durata $1$ e quello di durata $2$) si ripetono ogni $24$ secondi esattamente nello stesso ordine e con la stessa durata.
"AlephZero74":
Mi fa solo molto strano che nn esista una metodologia di calcolo per arrivare alla soluzione. A livello grafico é molto semplice, basta fare 3 linee di 24 quadretti ciascuno evidenziando con due colori quando acceso o spento.
Come hai potuto osservare anche la risposta di Gugo si riferisce alle 3 linee di quadratini bicolori. Il problema si inserisce negli esercizi che da una parte richiedono alcune conoscenze algebriche (mcm) e dall'altra un po' di fantasia o inventiva per la soluzione (un disegno).
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