Matrici
Salve, a scuola stiamo iniziando a fare le matrici, ma io non riesco a capire quale è il loro significato, a cosa servono ? Perchè per moltiplicarle non si può fare come quando si sommano solo che a posto di sommare i membri si moltiplicano ?
Risposte
A rigore si può benissimo definire la moltiplicazione in quel modo, ma allora non ci sarebbe nessuna differenza tra una matrice ed \(\mathbb{R}^{n^2}\).
Lo scopo lo si vede per bene all’università quando si studiano gli spazi vettoriali. Detto in maniera molto banale, le matrici sono una rappresentazione di un particolare tipo di trasformazione di \(\mathbb{R}^{n}\) e la loro moltiplicazione è equivalente alla combinazione di funzioni.
Faccio un esempio.
La matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \) trasforma il vettore \(\displaystyle \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \) nel vettore \(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y \\ -x \end{pmatrix}\). O in altre parole è la funzione \(f(x,y) = (y, -x)\).
La matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \) trasforma il vettore \(\displaystyle \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \) nel vettore \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+y \\ x-y \end{pmatrix}\). O in altre parole è la funzione \(g(x,y) = (x+y, x-y)\).
Se noi ora componiamo \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle g \) ricaviamo \(g(f(x,y)) = g(y,-x) = (y-x, y+x)\). Se facciamo la moltiplicazione delle due matrici ricaviamo \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x+y \\ x+y \end{pmatrix} \). Come vedi i due risultati coincidono.
Lo scopo lo si vede per bene all’università quando si studiano gli spazi vettoriali. Detto in maniera molto banale, le matrici sono una rappresentazione di un particolare tipo di trasformazione di \(\mathbb{R}^{n}\) e la loro moltiplicazione è equivalente alla combinazione di funzioni.
Faccio un esempio.
La matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \) trasforma il vettore \(\displaystyle \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \) nel vettore \(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y \\ -x \end{pmatrix}\). O in altre parole è la funzione \(f(x,y) = (y, -x)\).
La matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \) trasforma il vettore \(\displaystyle \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 \) nel vettore \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+y \\ x-y \end{pmatrix}\). O in altre parole è la funzione \(g(x,y) = (x+y, x-y)\).
Se noi ora componiamo \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle g \) ricaviamo \(g(f(x,y)) = g(y,-x) = (y-x, y+x)\). Se facciamo la moltiplicazione delle due matrici ricaviamo \(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x+y \\ x+y \end{pmatrix} \). Come vedi i due risultati coincidono.
il determinante cosa calcola in pratica ?
si può dimostrare che la matrice è la rappresentazione di un vettore e che può combinare le funzioni ?
si può dimostrare che la matrice è la rappresentazione di un vettore e che può combinare le funzioni ?
"paperino00":
il determinante cosa calcola in pratica ?
si può dimostrare che la matrice è la rappresentazione di un vettore e che può combinare le funzioni ?
Che intendi per rappresentazione di un vettore? Il fatto che può combinare le funzioni risulta abbastanza immediato un volta introdotta la teoria generale degli spazi vettoriali, perciò si può dimostrare.
Spiegare cosa rappresenta il determinante non è facilissimo. Penso per ora ti convenga vederlo solo come un utile strumento pratico per calcolare l'invertibilità di una matrice.
Un altro modo di rispondere alla tua domanda sul cosidetto "prodotto riga-colonna" è che,per come t'è stato definito,
esso permette ad esempio,posto $A=( ( 1 , 2 , 3 ),( 2 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) ),B=( ( 6 ),( 4 ),( 2 ) ),X=(( x ),( y ),( z))$,
di scrivere il sistema lineare ${ ( x+2y+3z=6 ),( 2x+y+z=4 ),(" " " "y+z=2 ):}$(*) nella forma più "compatta" $A times X=B$ (1);
è a quel punto,grazie ad un teorema "famoso" come quello di Rouche-Capelli
(nel caso specifico basta quello di Cramer,in effetti,che è generalizzato dal primo che ho menzionato..),
che entra in gioco il determinante di $A$ a stabilire,in modo inequivocabile,
se è lecito risolvere la (1)(e dunque il sistema (*)..)scrivendo $X=A^(-1)timesB$:
in modo simile alle equzioni di I° grado,certo,ma con significato dei simboli diverso,
ed adattato ad arte al proposito originario di risolvere (*),se possibile,nel modo più rapido e generale possibile
(ti basta sapere che la condizione di risolubilita di $ax=b$,ossia $a ne 0$,"diventa" $det(A) ne 0$ per la (*)..)!
Se qualcosa non è chiaro chiedi pure,
eventualmente anche in merito alla composizione di funzioni lineari(**) con l'ausilio delle matrici:
saluti dal web.
(**)Non a caso questa parte della Matematica è denominata Algebra Lineare
..
esso permette ad esempio,posto $A=( ( 1 , 2 , 3 ),( 2 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) ),B=( ( 6 ),( 4 ),( 2 ) ),X=(( x ),( y ),( z))$,
di scrivere il sistema lineare ${ ( x+2y+3z=6 ),( 2x+y+z=4 ),(" " " "y+z=2 ):}$(*) nella forma più "compatta" $A times X=B$ (1);
è a quel punto,grazie ad un teorema "famoso" come quello di Rouche-Capelli
(nel caso specifico basta quello di Cramer,in effetti,che è generalizzato dal primo che ho menzionato..),
che entra in gioco il determinante di $A$ a stabilire,in modo inequivocabile,
se è lecito risolvere la (1)(e dunque il sistema (*)..)scrivendo $X=A^(-1)timesB$:
in modo simile alle equzioni di I° grado,certo,ma con significato dei simboli diverso,
ed adattato ad arte al proposito originario di risolvere (*),se possibile,nel modo più rapido e generale possibile
(ti basta sapere che la condizione di risolubilita di $ax=b$,ossia $a ne 0$,"diventa" $det(A) ne 0$ per la (*)..)!
Se qualcosa non è chiaro chiedi pure,
eventualmente anche in merito alla composizione di funzioni lineari(**) con l'ausilio delle matrici:
saluti dal web.
(**)Non a caso questa parte della Matematica è denominata Algebra Lineare
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