Matrice simile all'altra
B=$((1,2,1),(2,b,2),(0,1,b))$
c=$((1),(2),(1))$
a)Stabilire al variare del parametro $b$ , il numero di soluzioni del sistema lineare scritto in forma matriciale Bx=c
b)Determinare tutte le eventuali soluzioni per b$=1$
c) Determinare tutte le eventuali soluzioni per b$=4$
a)$DetB=b^2-4b$
abbiamo un'unica soluzione per ogni $b!=0$;$b!=4$
CASO1
se $b=0$
B0=$((1,2,1),(2,0,2),(0,1,0))$ Qui il DetB0 è $0$ quindi guardo la sottomatrice...b0=$((1,2),(2,0))$
il Det della sottomatrice viene -4 quindi il rango è pari a $2$.
soluzioni=$\infty^(n incognite-nrango)=\infty$
CASO2
se $b=4$
B4=$((1,2,1),(2,4,2),(0,1,4))$ $DetB4=0$
allora vado a guardare un po di sottomatrici, solo che molte vengono $0$ ma arrivo a trovare la sottomatrice
$B4=((2,4),(0,1))$
il det viene $2$ quindi va bene e il rango anche lui è $2$ perché viene dalla sottomatrice quadrata.
soluzioni:$\infty^(n incognite-nrango)=\infty$
poi..determinare le soluzioni per $b=1$
B1=$((1,2,1),(2,1,2),(0,1,1))$
Det$=-3$
B1|c=$((1,2,1),(2,1,2),(0,1,1))$ è un caso che la matrice sia uguale quindi Det$=-3$
Ora scrivo la matrice $s$ ovvero la matrice completa con le soluzioni:
S=$((1,2,1,1),(2,1,2,2),(0,1,1,1))$
$((1,2,1),(2,1,2),(0,1,1))$ Det Sincompleta=$-3$
Ora trovo le soluzioni.
Chiamero tali matrici $x1,x2,x3$
x1=$((1,2,1),(2,1,2),(1,1,1))$
Ora per $x2$ sostituisco la colonna delle $x2$
x2=$((1,1,1),(2,2,2),(0,1,1))$ la cosa strana è che $x2=0$....infatti mi viene il dubbio che abbia sbagliato...
x3=$((1,2,1),(2,1,2),(0,1,1))$ poi determinante/determinante=$1$
c)andiamo al punto (c)
sostituisco $4$ alla variabile $b$.
osservo la sottomatrice $((2,4),(0,1))$= $2$
${((x1+2x2+x3=1),(2x1+4x2+2x3=2))$
${((x1=-2x2-((2-4x2-2x1)/(2))+1),(x3=1/2(2-4x2-2x1)))$
c=$((1),(2),(1))$
a)Stabilire al variare del parametro $b$ , il numero di soluzioni del sistema lineare scritto in forma matriciale Bx=c
b)Determinare tutte le eventuali soluzioni per b$=1$
c) Determinare tutte le eventuali soluzioni per b$=4$
a)$DetB=b^2-4b$
abbiamo un'unica soluzione per ogni $b!=0$;$b!=4$
CASO1
se $b=0$
B0=$((1,2,1),(2,0,2),(0,1,0))$ Qui il DetB0 è $0$ quindi guardo la sottomatrice...b0=$((1,2),(2,0))$
il Det della sottomatrice viene -4 quindi il rango è pari a $2$.
soluzioni=$\infty^(n incognite-nrango)=\infty$
CASO2
se $b=4$
B4=$((1,2,1),(2,4,2),(0,1,4))$ $DetB4=0$
allora vado a guardare un po di sottomatrici, solo che molte vengono $0$ ma arrivo a trovare la sottomatrice
$B4=((2,4),(0,1))$
il det viene $2$ quindi va bene e il rango anche lui è $2$ perché viene dalla sottomatrice quadrata.
soluzioni:$\infty^(n incognite-nrango)=\infty$
poi..determinare le soluzioni per $b=1$
B1=$((1,2,1),(2,1,2),(0,1,1))$
Det$=-3$
B1|c=$((1,2,1),(2,1,2),(0,1,1))$ è un caso che la matrice sia uguale quindi Det$=-3$
Ora scrivo la matrice $s$ ovvero la matrice completa con le soluzioni:
S=$((1,2,1,1),(2,1,2,2),(0,1,1,1))$
$((1,2,1),(2,1,2),(0,1,1))$ Det Sincompleta=$-3$
Ora trovo le soluzioni.
Chiamero tali matrici $x1,x2,x3$
x1=$((1,2,1),(2,1,2),(1,1,1))$
Ora per $x2$ sostituisco la colonna delle $x2$
x2=$((1,1,1),(2,2,2),(0,1,1))$ la cosa strana è che $x2=0$....infatti mi viene il dubbio che abbia sbagliato...
x3=$((1,2,1),(2,1,2),(0,1,1))$ poi determinante/determinante=$1$
c)andiamo al punto (c)
sostituisco $4$ alla variabile $b$.
osservo la sottomatrice $((2,4),(0,1))$= $2$
${((x1+2x2+x3=1),(2x1+4x2+2x3=2))$
${((x1=-2x2-((2-4x2-2x1)/(2))+1),(x3=1/2(2-4x2-2x1)))$
Risposte
Mi pare che il determinante sia sbagliato, mi sembra che debba essere $b^2-5b+4$ che ha come soluzioni $b=1$ e $b=4$.
Ho sbagliato a ricopiare il testo dell'esercizio...ora modifico il messaggio
ok modifica effettuata
aspetto di sapere se ho sbagliato, se qualcuno se ne intende mi faccia sapere...va be intanto lascio il messaggio
Ciao,
direi di procedere in questo modo: costruisco la matrice \[\left[\begin{array}{ccc|c}
1&2&1&1\\2&b&2&2\\0&1&b&1
\end{array}\right]\] e ragiono applicando il teorema di Rouchè-Capelli.
Il determinante della matrice incompleta è $b^2-4b = b(b-4)$.
Quindi se $b != 0, b != 4$ il rango dell'incompleta è pari a $3$, uguale a quello della completa (perché massimo). Di conseguenza c'è un'unica soluzione.
Se invece $b=0$ vado a sostituire e ottengo la matrice \[\left[\begin{array}{ccc|c}
1&2&1&1\\2&0&2&2\\0&1&0&1
\end{array}\right]\] Il rango dell'incompleta è $2$, mentre il rango della completa è $3$ (prova a fare qualche calcolo). Concludiamo quindi che per $b=0$ il sistema non ammette soluzioni.
Se $b=4$ la matrice diventa \[\left[\begin{array}{ccc|c}
1&2&1&1\\2&4&2&2\\0&1&4&1
\end{array}\right]\] Il rango dell'incompleta è sempre $2$, ma questa volta anche il rango della completa è $2$. Concludiamo che il sistema ammette un numero di soluzioni pari a $oo^1$, cioè dipendenti da un parametro.
direi di procedere in questo modo: costruisco la matrice \[\left[\begin{array}{ccc|c}
1&2&1&1\\2&b&2&2\\0&1&b&1
\end{array}\right]\] e ragiono applicando il teorema di Rouchè-Capelli.
Il determinante della matrice incompleta è $b^2-4b = b(b-4)$.
Quindi se $b != 0, b != 4$ il rango dell'incompleta è pari a $3$, uguale a quello della completa (perché massimo). Di conseguenza c'è un'unica soluzione.
Se invece $b=0$ vado a sostituire e ottengo la matrice \[\left[\begin{array}{ccc|c}
1&2&1&1\\2&0&2&2\\0&1&0&1
\end{array}\right]\] Il rango dell'incompleta è $2$, mentre il rango della completa è $3$ (prova a fare qualche calcolo). Concludiamo quindi che per $b=0$ il sistema non ammette soluzioni.
Se $b=4$ la matrice diventa \[\left[\begin{array}{ccc|c}
1&2&1&1\\2&4&2&2\\0&1&4&1
\end{array}\right]\] Il rango dell'incompleta è sempre $2$, ma questa volta anche il rango della completa è $2$. Concludiamo che il sistema ammette un numero di soluzioni pari a $oo^1$, cioè dipendenti da un parametro.
ok grazie!!!!!!!!!!!
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