MATRICE INVERSA

[lucaaa999]

Data una matrice invertibile appartenente a GL(2(Q),*) del tipo ( x y 0 1) Come calcolo, passo a passo, la sua inversa? Grazie.
(x e y stanno sulla prima riga, 0 e 1 sulla seconda)

[Matlurker]

Sia

[math]A=\begin{pmatrix}x&y\\0&1\end{pmatrix}[/math]

una matrice appartenente al gruppo lineare GL(2, 2, K) nel campo K. A è invertibile se e solo se il determinante associato è diverso da 0:

[math]det A=\begin{vmatrix}x&y\\0&1\end{vmatrix}=x \cdot 1 - y \cdot 0=x \neq 0[/math]

.

Quindi:

[math] \forall x \neq 0;\; \forall y\; \exists \; A^{-1}:\; A \circ A^{-1}=I_2[/math]

dove

[math]I_2[/math]

è la matrice identità:

[math]I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}[/math]

Ricapitolando:

[math]A \circ A^{-1}=\begin{pmatrix}x&y\\0&1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}[/math]

Moltiplicando le matrici a sinistra del segno di uguaglianza, abbiamo:

[math]A \circ A^{-1}=\begin{pmatrix}x \cdot a+y \cdot c&x \cdot b+y \cdot d\\0 \cdot a+1 \cdot c&0 \cdot b+1 \cdot d\end{pmatrix}[/math]

pertanto l'inversa di A deve rispettare il seguente sistema lineare:

[math]\begin{cases}
ax+cy=1\\
bx+dy=0\\
c=0\\
d=1
\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}
a=\frac{1}{x}\\
b=-\frac{y}{x}\\
c=0\\
d=1
\end{cases}[/math]

Perciò la matrice inversa di A è:

[math]A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{x}&-\frac{y}{x}\\0&1\end{pmatrix}[/math]