Matematica limiti!!

[Meme-1]

Salve, mi potreste aiutare con questi esercizi sui limiti?

[BIT5]

Esercizio 64...
Devi verificare prima di tutto se il valore a cui tende il limite appartiene alla funzione (ad esempio, come vedi x = -4 appartiene alla funzione). Pertanto, come vedi dal grafico, in x=-4 la funzione ha y=0 (f(x)=0) pertanto il limite è uguale a 0
Particolarità ha il valore x = 4, dove la funzione non esiste.
Ma siccome la funzione esiste "sia subito dopo che immediatamente prima" si deduce che il limite per x--> 4 sarà f(x)= 6
Gli altri esercizi (65 e 66) sono molto simili.

Per capire il 74, è opportuno secondo me vedere prima il 77 e ricordare che (in parole povere, ma per farti capire)

quando calcoli un limite per un valore di x dove la funzione non esiste, vuol dire che calcoli un valore di y "a cui la funzione si avvicina in modo infinitesimo (cioè per valori così piccoli da non poterli scrivere)"
Dire che x--> 0 di f(x) = 5 vuol dire che più ci avviciniamo a x=0 più il valore di y si avvicina a 5

La scrittura dice che

"per ogni epsilon (e con epsilon si intende un valore infinitamente piccolo) maggiore di zero (quindi un valore infinitamente piccolo e positivo) esiste un intorno di 0 (cioè esiste una parte di funzione che sta "prima e dopo" x=0) tale che per ogni valore di x appartenente a questo intorno di 0 (escluso x=0) f(x) (ovvero la "y" della funzione) - 3 è minore di epsilon. (ovvero la differenza tra y e 3 è un valore infinitesimamente piccolo, quasi zero, e quindi che il valore di y è "praticamente" 3)
In altre parole significa che abbiamo una funzione che non esiste per x=0.
Subito prima di x=0 e subito dopo, esiste un valore piccolissimo tale che se togli dalla y (f(x)) il valore 3 ottieni un numero piccolissimo
In sintesi, significa che il limite della funzione per x-->0 è 3

Capito questo, possiamo rispondere al 74 nella forma del 77 ovvero

[math] \forall \epsilon > 0 [/math]

[math] \exists [/math]

[math] I(2) : \forall x \in I(2) , x \not = 2 , | f(x) + 1 | < \epsilon [/math]

Per la rappresentazione grafica, dovrai semplicemente "inventarti" una funzione che per x=2 sia -1 (o, se vuoi, che non esista in x=2 ma che a sinistra e a destra valga quasi -1)

Ultimo esercizio:

limite x--> 0 (3x+4) = 4

ricordando la definizione di limite:

fissiamo un epsilon > 0

| f(x) - L |< epsilon (dove L è il valore del limite, in questo caso 4)

| 3x+4-4 | < epsilon

|3x| < epsilon

Vogliamo arrivare a dimostrare che |x-0|< delta, con delta dipendente da epsilon (dove zero è il valore a cui tende il limite)

-epsilon < 3x < epsilon

-epsilon/3 < x < epsilon/3

e dunque

|x|