Matematica iperbole

[luca.colella.58]

Risolvi i seguenti quesiti: a. Scrivi l'equazione dell'iperbole gamma avente come asintoti gli assi cartesiani e tangente alla retta r:y=−2x+4; determina i vertici e i fuochi di tale iperbole e rappresentala graficamente. b. Scrivi l'equazione della circonferenza avente come diametro il segmento che congiunge i fuochi di gamma. c: Indicata con t la retta parallela alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante che passa per il punto di coordinate (−2,−3), scrivi le equazioni delle parabole, con asse parallelo all'asse y, passanti per i fuochi di gamma e tangenti a t. d. Inidicato con T il punto di contatto tra r e gamma, considera una retta s passante per l'origine che interseca gamma nei due punti P e Q; determina l'equazione della retta s in modo che l'area del triangolo PTQ sia radice di 2

[mc2]

Iperbole generica avente gli assi cartesiani come asintoti (iperbole equilatera riferita ai propri asintoti):

[math]xy=k[/math]

Si trova k imponendo la tangenza ad r

[math]
\left\{\begin{array}{l}
y=\frac{k}{x} \\
y=−2x+4\end{array}
\right.
[/math]

[math]2x^2-4x+k=0[/math]

Le soluzioni di questa equazione devono essere reali e coincidenti, quindi

[math]\Delta=0[/math]

:

[math]16-8k=0[/math]

[math]k=2[/math]

L'iperbole e`

[math]xy=2[/math]

.
Il punto di tangenza e` T, di coordinate:

[math]2x^2-4x+2=0[/math]

, cioe`

[math]x=1[/math]

[math]T(1,2)[/math]

I fuochi e i vertici stanno sulla bisettrice del primo e terzo quadrante:

[math]y=x[/math]

Le intersezioni sono i vertici:

[math]
\left\{\begin{array}{l}
y=\frac{2}{x} \\
y=x\end{array}
\right.
[/math]

I vertici sono

[math]V_1(\sqrt{2},\sqrt{2})[/math]

e

[math]V_2(-\sqrt{2},-\sqrt{2})[/math]

La distanza tra i vertici e` l'asse trasverso e la sua lunghezza e`

[math]V_1V_2=4=2c[/math]

, quindi

[math]c=2[/math]

I fuochi si trovano in :

[math]F_1(2,2)[/math]

,

[math]F_1(-2,-2)[/math]

La circonferenza che ha per diametro

[math]F_1F_2[/math]

ha il centro nell'origine ed ha raggio uguale alla distanza

[math]OF_1=2\sqrt{2}[/math]

:

[math]x^2+y^2=8[/math]

Retta parallela alla bisettrice del 2 e 4 quadrante:

[math]y=-x+h[/math]

deve passare per (-2,-3):

[math]-3=2+h[/math]

[math]h=-5[/math]

La retta t e` :

[math]y=-x-5[/math]

Parabola generica con asse parallelo y:

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

Deve passare per i fuochi dell'iperbole:

[math]F_1:~~~~~~~2=4a+2b+c[/math]

[math]F_2:~~~~~~~-2=4a-2b+c[/math]

Sottraendo membro a membro:

[math]4=4b[/math]

, cioe`

[math]b=1[/math]

Sommando membro a membro:

[math]8a+2c=0[/math]

, cioe`

[math]c=-4a[/math]

La parabola ora e`

[math]y=ax^2+x-4a[/math]

e l'ultimo parametro

[math]a[/math]

si trova imponendo la tangenza a t:

[math]
\left\{\begin{array}{l}
y=ax^2+x-4a \\
y=-x-5\end{array}
\right.
[/math]

[math]ax^2+2x-4a+5=0[/math]

Si devono avere soluzioni coincidenti:

[math]\Delta=4+16a^2-20a=0[/math]

[math]4a^2-5a+1=0[/math]

Le soluzioni di questa equazione sono

[math]a=1[/math]

e

[math]a=\frac{1}{4}[/math]

, quindi abbiamo due parabole:

[math]y=x^2+x-4[/math]

[math]y=\frac{1}{4}x^2+x-1[/math]

Il punto di contatto tra r e l'iperbole e` T(1,2) (calcolato prima)


Retta generica per l'origine:

[math]y=mx[/math]

Le intersezioni con l'iperbole sono:

[math]P(\sqrt{\frac{2}{m}},\sqrt{2m})[/math]

[math]Q(-\sqrt{\frac{2}{m}},-\sqrt{2m})[/math]

Il triangolo PTQ ha il lato PQ di lunghezza:

[math]PQ=2\sqrt{\frac{2}{m}(1+m^2)}[/math]

La distanza di T da questo lato (cioe` dalla retta PQ: y=mx) e`:

[math]h=\frac{|m-2|}{\sqrt{1+m^2}}[/math]

L'area del triangolo PTQ e`:

[math]S=\frac{1}{2}\cdot PQ\cdot h=
\frac{1}{2}2\sqrt{\frac{2}{m}(1+m^2)}\frac{|m-2|}{\sqrt{1+m^2}}=
\sqrt{\frac{2}{m}}|m-2|
[/math]

e deve essere pari a

[math]\sqrt{2}[/math]

:

[math]|m-2|=\sqrt{m}[/math]

[math]m^2-4m+4=m[/math]

[math]m^2-5m+4=0[/math]

e ci sono due soluzioni: m=1, m=4, corrispondenti a due rette s:

[math]s_1:~~~~~~ y=x[/math]

[math]s_2:~~~~~~ y=4x[/math]