Matematica generale

[Orchidea]

Ciao a tutti!Sono al primo anno di università di economia..Ho trovato molte difficoltà a matematica generale..Sapete per caso un sito dove posso trovare teoria ed esercizi svolti?..Grazie mille.

[Orchidea]

Ok..Ho problemi quando devo fare le dimostrazioni con gli elementi di logica..Come posso fare per capirli e dimostrarli?..
Per esempio, dimostrare la proprietà transitiva dell'inclusione:
(A sottoinsieme B) e (B sottoinsieme C)implica A sottoinsieme C;
oppure dimostrare le seguenti proposizioni:
A sottoinsieme B doppia implicazione A intersezione B uguale A;
A sottoinsieme B doppia implicazione A intersezione non B uguale insieme vuoto...
Grazie mille..

[ciampax]

1) Dimostrare che

[math]A\subseteq B,\ B\subseteq C\quad\Rightarrow\quad A\subseteq C[/math]

.

DIMOSTRAZIONE: Osserviamo che, in generale dire

[math]X\subseteq Y[/math]

equivale ad affermare che

[math]\forall\ x\in X\quad\Rightarrow\quad x\in Y[/math]

. Allora abbiamo

[math]\forall\ x\in A\quad\Rightarrow\quad x\in B\quad\Rightarrow\quad x\in C[/math]

e quindi

[math]A\subseteq C[/math]

.

2)

[math]A\subseteq B\quad\Leftrightarrow\quad A\cap B=A[/math]

DIMOSTRAZIONE:

[math]\Rightarrow[/math]

L'ipotesi è che,

[math]\forall\ x\in A\quad\Rightarrow\quad x\in B[/math]

. Allora, per definizione di intersezione sai che

[math]A\cap B\subseteq A[/math]

. Inoltre

[math]\forall\ x\in A\quad\Rightarrow\quad x\in A\ \wedge\ x\in B\quad\Rightarrow\quad x\in A\cap B[/math]

e quindi, hai dimostrato che

[math]A\subseteq A\cap B[/math]

. Ne segue l'uguaglianza tra i due insiemi.

[math]\Leftarrow[/math]

Supponiamo per assurdo che

[math]A[/math]

non sia sottoinsieme di

[math]B[/math]

: questo vuol dire che

[math]\exists\ x\in A\ :\ x\notin B[/math]

. Ma allora si ha pure che

[math]x\notin (A\cap B)=A\quad\Rightarrow\quad x\notin A[/math]

che è assurdo. Quindi

[math]A\subseteq B[/math]

.


Prova un po' a fare l'ultimo e ti dico se va bene.

[Orchidea]

Grazie mille..Ma perchè nell'esercizio 2 la seconda dimostrazione l'hai fatta per assurdo?...Quando si fanno le dimostrazoin per assurdo?...Ma non si poteva fare secondo l'ipotesi: sia x appartenente ad A, per ipotesi A= A intersezione B, quindi x appartiene a B..però non so come andare avanti..
Per quanto riguarda il terzo esercizio ho fatto così:
A sottoinsieme B doppia implicazione A intersezione non B uguale insieme vuoto.
Allora:
Prima dimostrazione: Per ogni x che appartine ad A implica x appartiene a B.
(Ma A intersezione non B = insieme vuoto) è uguale a "x appartiene ad A e x non appartiene a B".
Quindi è insieme vuoto, giusto?....
Seconda dimostrazione: (A intersezione non B = insieme vuoto è come dire) x appartiene ad A e x non appartiene a B. Però (A sottoinsieme di B è come dire) "per ogni x che appartiene ad A implica x appartiene anche a B. Non mi riesce andare andati....
Grazie per l'aiuto..

[ciampax]

1) quello che dici riguardo la dimostrazione del 2 è giusto, ma a quel punto, come dici tu stessa, non puoi andare a vanti, a meno di non supporre che ci sia qualcosa di sbagliato! Ecco il perché della dimostrazione per assurdo.

2) riscrivo e correggo quello che dici in modo discorsivo (impara ad usare il latex, la cosa diventa molto più semplice. trovi la guida qui)

[math]\Rightarrow)[/math]

Per ipotesi

[math]\forall\ x\in A\ \Rightarrow\ x\in B[/math]

. Ma allora

[math]x\in A\cap B^c\ \Rightarrow\ x\in A\ \wedge\ x\in B^c\ \Rightarrow\ x\in A\ \wedge\ x\notin B[/math]

Questo vuol dire che, nell'intersezione tra

[math]A[/math]

e

[math]B^c[/math]

ci sono punti che si trovano in

[math]A[/math]

ma non in

[math]B[/math]

e questo è impossibile per ipotesi. Ne segue che l'intersezione

[math]A\cap B^c=\emptyset[/math]

in quanto non deve contenere punti.

[math]\Leftarrow)[/math]

Se

[math]A\cap B^c=\emptyset[/math]

, allora

[math]\forall\ x\in A\ \Rightarrow\ x\notin A\cap B^c\ \Rightarrow[/math]

(perché questa intersezione è l'insieme vuoto)

[math]\Rightarrow\ x\notin B^c\ \Rightarrow[/math]

(perché l'elemento appartiene ad

[math]A[/math]

e quindi non deve appartenere all'altro insieme)

[math]\Rightarrow x\in B[/math]

e quindi ne segue che

[math]\forall\ x\in A\ \Rightarrow\ x\in B[/math]

e quindi

[math]A\subseteq B[/math]

.