Matematica finanziaria(rendite certe)
salve ragazzi, è da un pò di tempo che non riesco a combinare niente con questa maledetta matematica, e volevo sapere se qualcuno poteva aiutarmi.
ho questi problemi cui non riesco venirne a capo:
-abbiamo versato presso una banca per 16 anni rate annue di 1100€. il tasso annuo, inizialmente del 4.25%, è stato portato al 4.75% subito dopo il versamento della quinta rata. oggi all'atto dell'ultimo versamento ci accordiamo con la banca di ritirare una certa somma e fra 2 anni una somma superiore di 5500€ alla precedente in modo da esaurire il deposito. calcolare l'importo delle due somme(soluzione 10657.94)
-Enrica ha diritto a riscuotere, a partire dall'anno prossimo, un annualità di 2800€ per 10 anni. cede la rendita ad una banca che, applicando il tasso annuo del 5.50%, conviene di corrispondere una certa somma oggi e una somma di importo metà fra 3 anni. calcolare l'importo delle due somme( soluzione 14802.39)
-Davide ha contratto 5 anni fa il debito di 32000€ al tasso annuo del 4.75% e ha versato 3 anni fa un acconto di 10000€. si accorda con il creditore di versare, a partire da oggi, 16 rate semestrali allo stesso tasso annuo in modo da estinguere il debito. calcolare l'importo delle rate semestrali(soluzione 2134.69)
se potreste darmi anche una piccola spiegazione sulla risoluzione ve ne sarei molto grato.
grazie in anticipo
Aggiunto 1 giorni più tardi:
help help help help
Aggiunto 3 ore 8 minuti più tardi:
io mi ero fermati a 23236,32. il problema di quel problema era trovare la somma da ritirare superiore di 5500
Aggiunto 1 ore 24 minuti più tardi:
ok grazie
ho questi problemi cui non riesco venirne a capo:
-abbiamo versato presso una banca per 16 anni rate annue di 1100€. il tasso annuo, inizialmente del 4.25%, è stato portato al 4.75% subito dopo il versamento della quinta rata. oggi all'atto dell'ultimo versamento ci accordiamo con la banca di ritirare una certa somma e fra 2 anni una somma superiore di 5500€ alla precedente in modo da esaurire il deposito. calcolare l'importo delle due somme(soluzione 10657.94)
-Enrica ha diritto a riscuotere, a partire dall'anno prossimo, un annualità di 2800€ per 10 anni. cede la rendita ad una banca che, applicando il tasso annuo del 5.50%, conviene di corrispondere una certa somma oggi e una somma di importo metà fra 3 anni. calcolare l'importo delle due somme( soluzione 14802.39)
-Davide ha contratto 5 anni fa il debito di 32000€ al tasso annuo del 4.75% e ha versato 3 anni fa un acconto di 10000€. si accorda con il creditore di versare, a partire da oggi, 16 rate semestrali allo stesso tasso annuo in modo da estinguere il debito. calcolare l'importo delle rate semestrali(soluzione 2134.69)
se potreste darmi anche una piccola spiegazione sulla risoluzione ve ne sarei molto grato.
grazie in anticipo
Aggiunto 1 giorni più tardi:
help help help help
Aggiunto 3 ore 8 minuti più tardi:
io mi ero fermati a 23236,32. il problema di quel problema era trovare la somma da ritirare superiore di 5500
Aggiunto 1 ore 24 minuti più tardi:
ok grazie
Risposte
Consideriamo la prima somma versata inizialmente.
Questa rendera' 4,25% il primo anno.
Poi il secondo anno avremo il 4,25% non piu' su 1100, ma su 1100+gli interessi del primo anno.
Siamo pertanto in regime di capitalizzazione composta, perche' gli interessi maturati dopo il primo anno partecipano al calcolo degli interessi dell'anno successivo.
Insomma, a farla semplice, se la somma rendesse il 100%, dopo il primo anno 1100 maturerebbero 1100 e avremmo 2200, l'anno successivo dovremo calcolare gli interessi del 100% non piu' su 1100 ma sui nuovi 2200..
Consideriamo i primi 4 anni, perche' poi il tasso cambia.
I 1100 iniziali, trascorsi 4 anni, avranno reso:
Dove i=0,0425 (4,25%=0,0425)
t=4 anni
Quindi i primi 1100
Per evitare milioni di calcoli, pero', scriviamo cosa succede in 4 anni.
Avremo
E quindi raccogliendo a fattore comune:
Questo metodo e' molto laborioso, come vedi.
Utilizziamo dunque la formula della Rendita:
Trascorsi i primi 4 anni, dunque, il Montante sara'
Dal quinto anno, avremo:
il montante calcolato sopra, che continuera' a rendere il nuovo tasso (4,75) al regime di capitalizzazione composto, mentre avremo ancora 11 rate da 1100 che daranno un montante finale come fatto per i primi 4 anni
Quindi i 4688,53 renderanno al 4,75:
Mentre i versamenti successivi da 1100
Alla fine avremo, dunque, un montante complessivo pari a
A questo punto vogliamo ritirare una somma subito e, dopo 2 anni, una somma di 5500 euro superiore a questa.
La somma che lasciamo per ulteriori due anni e' soggetta ancora a interessi.
Quindi se ritiriamo oggi una somma x rimarra' capitalizzata una somma pari a 23236,32-x che sara' assoggettata a regime di capitalizzazione composta, creando un montante finale di
Che dovra' essere pari alla somma ritirata oggi (x)+5500
L'equazione da risolvere sara'
Nell'evenutualita' remota la somma lasciata per ulteriori due anni non fosse soggetta a interessi, allora dovresti semplicemente uguagliare
23236,32-x=5500+x
Aggiunto 1 ore 32 minuti più tardi:
Risolvi l'ultima equazione e trovi x (il valore del primo prelievo)
Questa rendera' 4,25% il primo anno.
Poi il secondo anno avremo il 4,25% non piu' su 1100, ma su 1100+gli interessi del primo anno.
Siamo pertanto in regime di capitalizzazione composta, perche' gli interessi maturati dopo il primo anno partecipano al calcolo degli interessi dell'anno successivo.
Insomma, a farla semplice, se la somma rendesse il 100%, dopo il primo anno 1100 maturerebbero 1100 e avremmo 2200, l'anno successivo dovremo calcolare gli interessi del 100% non piu' su 1100 ma sui nuovi 2200..
Consideriamo i primi 4 anni, perche' poi il tasso cambia.
I 1100 iniziali, trascorsi 4 anni, avranno reso:
[math] M=C(1+i)^t [/math]
Dove i=0,0425 (4,25%=0,0425)
t=4 anni
Quindi i primi 1100
[math] M=1100(1+0,0425)^4=1299,26 [/math]
Per evitare milioni di calcoli, pero', scriviamo cosa succede in 4 anni.
Avremo
[math] M_{TOT}=C(1+i)^4+C(1+i)^3+C(1+i)^2+C(1+i) [/math]
E quindi raccogliendo a fattore comune:
[math] M_{TOT}=C(1+i) \cdot \[(1+i)^3+(1+i)^2+(1+i)+1)\][/math]
Questo metodo e' molto laborioso, come vedi.
Utilizziamo dunque la formula della Rendita:
[math] M=R \frac{(1+i)^n-1}{i} [/math]
Trascorsi i primi 4 anni, dunque, il Montante sara'
[math] M=1100 \frac{(1+0,0425)^4-1}{0,0425}=4688,53 [/math]
Dal quinto anno, avremo:
il montante calcolato sopra, che continuera' a rendere il nuovo tasso (4,75) al regime di capitalizzazione composto, mentre avremo ancora 11 rate da 1100 che daranno un montante finale come fatto per i primi 4 anni
Quindi i 4688,53 renderanno al 4,75:
[math] M_2=4688,53 (1+0,0475)^{11}=7811,44 [/math]
Mentre i versamenti successivi da 1100
[math] M_3=1100 \frac{(1+0,0475)^{11}-1}{0,0475}=15424,88 [/math]
Alla fine avremo, dunque, un montante complessivo pari a
[math] 7811,44+15424,88=23236,32 [/math]
A questo punto vogliamo ritirare una somma subito e, dopo 2 anni, una somma di 5500 euro superiore a questa.
La somma che lasciamo per ulteriori due anni e' soggetta ancora a interessi.
Quindi se ritiriamo oggi una somma x rimarra' capitalizzata una somma pari a 23236,32-x che sara' assoggettata a regime di capitalizzazione composta, creando un montante finale di
[math] (23236,32-x)(1,0475)^2 [/math]
Che dovra' essere pari alla somma ritirata oggi (x)+5500
L'equazione da risolvere sara'
[math] (23236,32-x)(1,0475)^2=5500+x [/math]
Nell'evenutualita' remota la somma lasciata per ulteriori due anni non fosse soggetta a interessi, allora dovresti semplicemente uguagliare
23236,32-x=5500+x
Aggiunto 1 ore 32 minuti più tardi:
Risolvi l'ultima equazione e trovi x (il valore del primo prelievo)
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