Matematica - Condizione di esistenza delle radici (eq. 2° grado)

Ka90
sia data l'eq (2cos@-1)x^2-2x+cos@=0 dove @ è un angolo fra 0 e pgreco:
1)studiare,al variare di @ l'esistenza e il segno delle radici x' e x''
2)calcolare x in moddo ke sia 1/x'+1/x''-4sen@=0

COME SI FA?????????AIUTO

Risposte
the.track
Vediamo un po'...

[math]\left(2\cos \alpha -1\right) \cdot x^2 - 2x + \cos\alpha =0[/math]


Troviamo le radici:

[math]x_{1;2}=\frac{1\pm\sqrt{1-\cos \alpha\left( 2\cos\alpha-1 \right)}}{2\cos \alpha -1} [/math]


Studiamo l'esistenza delle radici:

[math]1-\cos \alpha (2\cos \alpha-1) \geq 0[/math]


Possiamo scrivere:

[math]-2cos^2 \alpha-cos\alpha+1\geq 0[/math]


[math]2cos^2 \alpha+cos\alpha-1\leq 0[/math]


Decomponiamo:

[math](\cos\alpha+1)(2cos\alpha-1)\leq 0 [/math]


Ora si tratta solo di risolvere questa disequazione goniometrica.

Poi affinché le soluzioni siano reali il denominatore deve essere diverso da zero:

[math]2\cos\alpha-1 \neq 0[/math]


Questa è una semplice equazione.

Se hai dubbi chiedi. ;)

Ka90
quindi devo trovare i valori di alfa???????nn ho capito bene? :(

the.track
Si, devi trovare i valori di
[math]\alpha[/math]
per i quali le radici sono reali. Se ci pensi
[math]\alpha[/math]
varia e perciò ci possono essere valori di
[math]\alpha[/math]
per i quali le radici non esistono, ad esempio se il
[math]\Delta[/math]
diventa negativo, oppure il denominatore nullo.

Ka90
e il secondo punto come si fa?cmq grazie x l'aiuto

the.track
2) Calcolare
[math]\alpha[/math]
in modo ke sia
[math]\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}-4sin\alpha=0[/math]


In questo caso devi solo sostituire dopo aver individuato le radici.

[math]x_1=\frac{1-\sqrt{1-cos\alpha (2cos\alpha -1)}}{2cos\alpha-1}[/math]


[math]x_2=\frac{1+\sqrt{1-cos\alpha (2cos\alpha -1)}}{2cos\alpha-1}[/math]


[math]\frac{1}{\frac{1-\sqrt{1-cos\alpha (2cos\alpha -1)}}{2cos\alpha-1}}+\frac{1}{\frac{1+\sqrt{1-cos\alpha (2cos\alpha -1)}}{2cos\alpha-1}}-4sin\alpha=0[/math]


Devi risolvere questa roba qui. Auguri!! :)
Se hai dubbi chiedi.

Ka90
il problema è ke alfa esce 1 e 1/2.....ma qnt'è il coseno di 1 e di 1/2?risp solo a qsto x il resto mi è tutto kiaro:D

issima90
ka90 ti pregherei la prossima volta di usare titoli più specifici...grazie!!!!

the.track
Mmm...
Sicura che non ti esca qualcosa del tipo:

[math]cos\alpha= \frac{1}{2}[/math]


??

Se è così devi calcolare l'arcocoseno di 1/2 che è
[math]\frac{\pi}{3}[/math]


Dimmi se hai dubbi. ;)

Ka90
;)a sììììììììììììì......scusa sn un pò nel pallone..........grazie davvero!!!!!!!!!!!

the.track
Prego. Se hai ancora dubbi fammi sapere. ;)

Ka90
xò fa niente ke abbiamo messo il denominatore diverso da zero..?xkè è 2cos@-1 diverso da 0 cioè cosen diverso da 1/2?????????????

the.track
Eccomi ero andato a cena.
Abbiamo:

[math]2cos\alpha-1\neq 0[/math]


[math]cos\alpha\neq \frac{1}{2}[/math]


Il nostro scopo è trovare valori di
[math]\alpha[/math]
perciò:

[math]\alpha\neq \frac{\pi}{3}[/math]


ok?

Se hai bisogno per le altre condizioni chiedi pure. ;)

BIT5
Ciao ka90! mi intrometto solo per darti un piccolo consiglio...

quando ti trovi un esercizio del tipo

[math]\frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2}[/math]


dove x1 e x2 sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado, tieni conto di questo:

[math]\frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2}= \\ \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}[/math]


Siccome le due soluzioni di un'equazione di secondo grado sono sempre del tipo

[math]x_1_,_2= \frac{-b \pm \sqrt{ \Delta}}{2a}[/math]


Allora la somma delle soluzioni è

[math]\frac{-b+ \sqrt{ \Delta}+ (-b - \sqrt{ \Delta})}{2a}[/math]


[math]= \frac{-2b}{2a}=- \frac{b}{a}[/math]


Mentre il prodotto delle soluzioni, sarà

[math]\frac{(-b+ \sqrt{ \Delta})(-b - \sqrt{ \Delta})}{4a^2}[/math]


Che trattandosi (al numeratore) di prodotto notevole del tipo

[math](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/math]


Verrà

[math] \frac{b^2- \Delta}{4a^2}[/math]


[math] \frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}= \frac{c}{a}[/math]


Pertanto il tuo problema, senza perdersi in mille conti, poteva essere risolto come

[math] \frac{ - \frac{b}{a}}{ \frac{c}{a}}-4sen \alpha =0[/math]


E quindi

[math]- \frac{b}{c}-4sen \alpha =0[/math]


ovvero

[math] \frac{2}{cos \alpha}-4sen \alpha =0[/math]


Che direi che semplifica un po' i conti:satisfied

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