Massimo comune divisore

[l_ale13]

Buonasera,
mi stavo chiedendo se il massimo comune divisore di due numeri interi può NON essere un numero intero, facendo molte prove ho visto che non esiste ma cercavo una dimostrazione rigorosa.
(questo dubbio è partito dal seguente problema: piccolo quiz serale io ho da piastrellare un rettangolo di 315cm x 435 cm con delle piastrelle quadrate più grandi possibili e senza che mi avanzino neanche una e non posso tagliarle quante piastrelle ci vogliono e di che grandezza? E da qui il dubbio se il massimo lato possibile della piastrella, dato un altro rettangolo, potesse essere non intero)
Grazie a chi mi sa aiutare

[mgrau]

Ma quando si parla di "divisore" di un intero, si intende un numero intero. Si tratta di divisione intera, con quoziente e resto. Se togli questa condizione, qualsiasi numero razionale è un divisore di qualsiasi altro razionale, e tutta la questione perde significato,

[ProPatria]

Ciao nel problema che dicevi ora immagina di avere una piastrella quadrata che ha per lati numeri razionali. Allora il lato $l$ si può scrivere come $l=p/q$, con $p, qinNN$ e positivi. Supponiamo che p e q siano coprimi (cioè in forma ridotta). I lati del rettangolo sono 315 e 435, dunque numeri interi. Ma allora $p$ che è il numeratore della nostra frazione deve essere un divisore al contempo di 315 e 435 (perché abbiamo $315=p/q *n$ per qualche n intero, cioè $q*315=p*n$ e allo stesso modo con 435). Noi però dobbiamo trovare p e q in modo che $l=p/q$ sia "più grande possibile", e una situazione del genere la troviamo con $q=1$ e $p=MCD(315, 435)$.
Ovviamente esistono piastrelle "razionali" che quadrano i conti, ma non sono le più grandi possibili. Prova ad esempio $l=15/2$.