Massimi e minimi relativi
Chiedo aiuto, forse per qualcosa di banale, ma dopo aver equagliato a zero le derivate parziali prime, ottengo un sistema le cui soluzioni sono:
x=0
x=2
y=1
y=-1
siccome le due equazioni forniscono soluzioni autonome (essendo entrambe in una sola incognita), mi chiedo, come si fa ad associare i valori a x e y relativamente ai due punti stazionari?
La funzione di partenza è:
z = x^3 + y^3 - 3x^2 - 3y
Ho cercato nelle FAQ (senza riuscire a trovarlo) il modo con cui scrivere le formule matematiche, potreste indicarmi come si fa?
Grazie dei suggerimenti.
x=0
x=2
y=1
y=-1
siccome le due equazioni forniscono soluzioni autonome (essendo entrambe in una sola incognita), mi chiedo, come si fa ad associare i valori a x e y relativamente ai due punti stazionari?
La funzione di partenza è:
z = x^3 + y^3 - 3x^2 - 3y
Ho cercato nelle FAQ (senza riuscire a trovarlo) il modo con cui scrivere le formule matematiche, potreste indicarmi come si fa?
Grazie dei suggerimenti.
Risposte
"franco56":
Ho cercato nelle FAQ (senza riuscire a trovarlo) il modo con cui scrivere le formule matematiche, potreste indicarmi come si fa?
https://www.matematicamente.it/forum/acc ... ATEMATICHE
è TUTTO esaurientemente spiegato nella pagina di accesso al forum.
$z=f(x,y)=x^3+y^3-3x^2-3y$
Annullando le derivate prime $f_x^{\prime}=3x^2-6x$ e $f_y^{\prime}=3y^2-3$ si ha il sistema:
$ 3x^2-6x=0$
$ 3y^2-3=0$
Questo sistema ha come soluzioni $x=0,y=1$; $x=0,y=-1$; $x=2,y=1$; $x=2,y=-1$.
Poi per determinare minimi e massimi relativi (e anche punti di sella) si studia l'hessiano $H(x,y)$ della $f(x,y)$.
Annullando le derivate prime $f_x^{\prime}=3x^2-6x$ e $f_y^{\prime}=3y^2-3$ si ha il sistema:
$ 3x^2-6x=0$
$ 3y^2-3=0$
Questo sistema ha come soluzioni $x=0,y=1$; $x=0,y=-1$; $x=2,y=1$; $x=2,y=-1$.
Poi per determinare minimi e massimi relativi (e anche punti di sella) si studia l'hessiano $H(x,y)$ della $f(x,y)$.
OK, grazie, infatti l'hessiano è >0 (36).
Quello che poi segue, per la determinazione dei punti di massimo e minimo, mi è noto.
Quello che però non riesco a capire è:
1) come si associano le coordina delle diverse x e y trovate?
2) perchè la soluzione del libro prende le coordinate di soli due punti ( cioè A(2;1) e B(0;1) ) tra i quattro trovati? .
Quello che poi segue, per la determinazione dei punti di massimo e minimo, mi è noto.
Quello che però non riesco a capire è:
1) come si associano le coordina delle diverse x e y trovate?
2) perchè la soluzione del libro prende le coordinate di soli due punti ( cioè A(2;1) e B(0;1) ) tra i quattro trovati? .
Essendo:
$f_(xx)^('')=6x-6$; $f_(yy)^('')=6y$; $f_(xy)^('')=f_(yx)^('')=0$
dal calcolo dei rispettivi hessiani otteniamo:
a) $H(0,1)=|(-6, ,0),( , , ),(0, ,6)|=-36<0$
da cui si deduce che il punto $A(0,1)$ è un punto di sella.
b) $H(0,-1)=|(-6, ,0),( , , ),(0, ,-6)|=36>0$ con $f_(xx)^('') (0,-1)=-6<0$
da cui si deduce che nel punto $B(0,-1)$ vi è un massimo relativo.
c) $H(2,1)=|(6, ,0),( , , ),(0, ,6)|=36>0$ con $f_(xx)^('') (2,1)=6>0$
da cui si deduce che nel punto $C(2,1)$ vi è un minimo relativo.
d) $H(2,-1)=|(6, ,0),( , , ),(0, ,-6)|=-36<0$
da cui si deduce che il punto $D(2,-1)$ è un punto di sella.
$f_(xx)^('')=6x-6$; $f_(yy)^('')=6y$; $f_(xy)^('')=f_(yx)^('')=0$
dal calcolo dei rispettivi hessiani otteniamo:
a) $H(0,1)=|(-6, ,0),( , , ),(0, ,6)|=-36<0$
da cui si deduce che il punto $A(0,1)$ è un punto di sella.
b) $H(0,-1)=|(-6, ,0),( , , ),(0, ,-6)|=36>0$ con $f_(xx)^('') (0,-1)=-6<0$
da cui si deduce che nel punto $B(0,-1)$ vi è un massimo relativo.
c) $H(2,1)=|(6, ,0),( , , ),(0, ,6)|=36>0$ con $f_(xx)^('') (2,1)=6>0$
da cui si deduce che nel punto $C(2,1)$ vi è un minimo relativo.
d) $H(2,-1)=|(6, ,0),( , , ),(0, ,-6)|=-36<0$
da cui si deduce che il punto $D(2,-1)$ è un punto di sella.
OK,ora è tutto chiaro. Ti ringrazio e saluto augurandoti buone feste.
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