Massimi e minimi di funzione
Mi potreste aiutare con questa funzione ho problemi nella determinazione dei punti di massimo e minimo:
1) $y= (x^2)/\(|x-1|)$
Dominio è tutto R tranne 1
Siccome c’è il valore assoluto, le funzioni sono: per x<=1 è $y=(x^2)/(-x+1)$ e per x>1 è $y= (x^2)/(x-1)$.
Per trovare i minimi e massimi devo studiare il segno della f’(x).
Per x<=1 $f’(x)= (3x^2+2x)/ [(-x+1)^2]$ mentre per x>1 $f’(x) = (x^2+2x)/[(x-1)^2]$
Studiando il segno di f’(x) nell’intervallo per x<=1:
N: $3x^2+2x >=0 $ VE compresi [-2/3; 0]
D: $(-x+1)^2>0$ sempre positiva tranne 1
C’è un punto di massimo a x=-2/3 e un punto di minimo a x=0
Studiando il segno di f’(x) nell’intervallo per x >1, ottengo un punto di minimo a x=2.
La soluzione del testo è: punto di massimo (0;0) e punto di minimo (2;4).
Non riesco a capire l’errore che ho commesso.
Grazie per l'aiuto che mi potrete dare.
Martina
1) $y= (x^2)/\(|x-1|)$
Dominio è tutto R tranne 1
Siccome c’è il valore assoluto, le funzioni sono: per x<=1 è $y=(x^2)/(-x+1)$ e per x>1 è $y= (x^2)/(x-1)$.
Per trovare i minimi e massimi devo studiare il segno della f’(x).
Per x<=1 $f’(x)= (3x^2+2x)/ [(-x+1)^2]$ mentre per x>1 $f’(x) = (x^2+2x)/[(x-1)^2]$
Studiando il segno di f’(x) nell’intervallo per x<=1:
N: $3x^2+2x >=0 $ VE compresi [-2/3; 0]
D: $(-x+1)^2>0$ sempre positiva tranne 1
C’è un punto di massimo a x=-2/3 e un punto di minimo a x=0
Studiando il segno di f’(x) nell’intervallo per x >1, ottengo un punto di minimo a x=2.
La soluzione del testo è: punto di massimo (0;0) e punto di minimo (2;4).
Non riesco a capire l’errore che ho commesso.
Grazie per l'aiuto che mi potrete dare.
Martina
Risposte
Ritengo che i punti
$m_1(0,0)$
e
$m_2(2,4)$
siano entrambi punti di minimo, visto che la funzione, come dici, è
$f_1(x)=(x^2)/(x-1)$ per x>1
e
$f_1(x)=(x^2)/(1-x)$ per x<1
Il punto di ascissa $ -2/3 $ non ha alcun significato particolare, controlla i calcoli.
Intanto ci do un'occhiata anch'io............
$m_1(0,0)$
e
$m_2(2,4)$
siano entrambi punti di minimo, visto che la funzione, come dici, è
$f_1(x)=(x^2)/(x-1)$ per x>1
e
$f_1(x)=(x^2)/(1-x)$ per x<1
Il punto di ascissa $ -2/3 $ non ha alcun significato particolare, controlla i calcoli.
Intanto ci do un'occhiata anch'io............
Purtroppo ho ricontrollato sia la f'(x) che lo studio del segno, ma non trovo l'errore.
La soluzione del testo è: punto di massimo (0;0) e punto di minimo (2;4).
La soluzione del testo è: punto di massimo (0;0) e punto di minimo (2;4).
Appena a casa ti mando una immagine del grafico, dal lavoro non posso.
Quel che dice il libro non sempre è corretto...........
Quel che dice il libro non sempre è corretto...........
Per prima cosa, hai toppato il calcolo di f'(x) nel caso x<1.............
E anche per $x > 1$....
la derivata di $y= (x^2)/(x-1)$ è $ (x^2-2x)/[(x-1)^2]$, col meno.
E poi:
le due funzioni $y=(x^2)/(-x+1)$ e $y= (x^2)/(x-1)$ sono uguali, salvo il segno.
Allora, come mai le loro derivate non sono uguali, col segno opposto?
la derivata di $y= (x^2)/(x-1)$ è $ (x^2-2x)/[(x-1)^2]$, col meno.
E poi:
le due funzioni $y=(x^2)/(-x+1)$ e $y= (x^2)/(x-1)$ sono uguali, salvo il segno.
Allora, come mai le loro derivate non sono uguali, col segno opposto?
Le due funzioni sono di segno opposto. Anche le derivate sono uguali ma di segno opposto. Infatti (dopo calcoli)
$f_1'(x)=(x(x-2))/(x-1)^2$
e
$f_2'(x)=(x(2-x))/(x-1)^2$
Entrambe si annullano per
$x=0$
e
$x=2$
Visto che i calcoli non devono essere il tuo forte, le derivate seconde sono rispettivamente
$f_1''(x)=2/(x^3-3x^2+3x-1)$
e
$f_1''(x)=-2/(x^3-3x^2+3x-1)$
che sono entrambe sempre positive (prova sia la prima sia la seconda, rispettivamente con un x>1 e con un x<1, ovviamente).
Quindi i due punti sono entrambi dei minimi.
$f_1'(x)=(x(x-2))/(x-1)^2$
e
$f_2'(x)=(x(2-x))/(x-1)^2$
Entrambe si annullano per
$x=0$
e
$x=2$
Visto che i calcoli non devono essere il tuo forte, le derivate seconde sono rispettivamente
$f_1''(x)=2/(x^3-3x^2+3x-1)$
e
$f_1''(x)=-2/(x^3-3x^2+3x-1)$
che sono entrambe sempre positive (prova sia la prima sia la seconda, rispettivamente con un x>1 e con un x<1, ovviamente).
Quindi i due punti sono entrambi dei minimi.
Ho sbagliato i calcoli della f'(x). Ora però ottengo due punti di minimo in x=0 e in x=2.
Probabilmente è errato il grafico che mi viene proposto come soluzione.
Probabilmente è errato il grafico che mi viene proposto come soluzione.
Quel che dici è corretto. Più tardi ti mando il mio grafico.
Eccolo:
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo