Massimi e minimi con la spiegazione

[ahmed mohammed]

E' data la circonferenza di equazione x^2+y^2=1
Determina su di essa un punto P in modo k sia massima la somma dei quadrati delle sue distanza dai punti A(2;0) B(0;2)

[bimbozza]

un generico punto P sulla circonferenza ha equazione

[math](x, +-\sqrt{1-x^2})[/math]

che, per aver distanza max dai due punti, si troverà nel terzo quadrante.
calcoliamo la sua distanza da A e B
da A:

[math]\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{1-x^2})^2}= \sqrt{x^2+4-4x+1-x^2}=\sqrt{5-4x}[/math]

da B:

[math]\sqrt{x^2+(+-\sqrt{1-x^2}-2)^2}=\sqrt{x^2+1-x^2+4+-4 \sqrt{1-x^2}} = \sqrt{5+-4 \sqrt{1-x^2}}[/math]

quindi la somma dei quadrati delle distanze è

[math]5-4x+5+-4 \sqrt{1-x^2}= 10-4x+-4 \sqrt{1-x^2}[/math]

per trovare il massimo dobbiamo derivare la funzione ottenuta e porla =0

[math]4+- \frac{4x}{ \sqrt{1-x^2}}=0[/math]

che ha soluzione

[math]x= \frac{-1}{ \sqrt{2}} [/math]

e

[math]x= \frac{1}{ \sqrt{2}} [/math]

quindi il punto P (dovendo stare nel 3° quadrante) è

[math]( \frac{-1}{ \sqrt{2}}, -\frac{1}{ \sqrt{2}}[/math]