Massimi e minimi Assoluti

[Flappy.6]

Tra tutte le parabole del fascio di equazione : y= (m-2)x^2-2(m-1)x-4(m-2) determinare quella che interseca l'asse x in due punti A e B , in modo che il triangolo ABC, essendo C il punto (0;1), sia di area minima.

[ciampax]

Per prima cosa, determiniamo le coordinate dei due punti: dobbiamo risolvere l'equazione

[math](m-2)x^2-2(m-1)x-4(m-2)=0[/math]

Poiché si ha

[math]\Delta=4(m-1)^2+16(m-2)^2=4[(m-1)^2+4(m-2)^2]> 0[/math]

ci sono sempre due soluzioni distinte e si ha

[math]x_{1,2}=\frac{2(m-1)\pm 2\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2}}{2}=m-1\pm\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2}[/math]

da cui i punti

[math]A(m-1-\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2},0),\quad B(m-1+\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2},0)[/math]

Osserva ora che il triangolo

[math]ABC[/math]

ha per base

[math]AB[/math]

e per altezza la coordinata

[math]y_C=1[/math]

di

[math]C[/math]

. Essendo poi

[math]AB=|m-1+\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2}-m+1+\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2}|=2\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2}[/math]

si ricava per l'area la relazione dipendente da

[math]m[/math]

[math]S(m)=\frac{bh}{2}=\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2}[/math]

La derivata di questa funzione risulta

[math]S'(m)=\frac{2(m-1)+8(m-2)}{2\sqrt{(m-1)^2+4(m-2)^2}}[/math]

e poiché si ha

[math]S'(m)=0[/math]

se e solo se

[math]m-1+4m-8=0\ \Rightarrow\ m=9/5[/math]

, per tale scelta del parametro si ha l'area minima.