Ma è dimostrato?

[_prime_number]

Oggi il prof ha enunciato il Teorema di Sostituzione degli Infinitesimi...
Come ipotesi avevamo detto
sia f(x)=g(x) + o(g(x))
sia h(x)=q(x) + o(q(x))
Thesi: lim per x->x0 di f(x)/h(x) = lim per x->x0 di [g(x)+ o(g(x))]/[q(x) + o(q(x))]
Considerando che per definizione o(g(x)) e o(q(x)) sono trascurabile a me pareva già ovvio che quest o limite potesse essere ricondotto al lim per x->x0 di g(x)/q(x)
ma il prof ha invece detto che dovevamo dimostrarlo che fossero trascurabili e ha raccolto rispettivamente g(x) al numeratore e q(x) al denominatore... Ottendendo
lim per x->x0 di [g(x)(1+ o(g(x))/g(x))]/[q(x)(1+ o(q(x))/q(x))]
Poi ha detto che le quantità tra le tonde facevano entrambe 1. Ma a me il motivo pareva lo stesso, cioè per definizione o(g(x)) e o(q(x)) erano trascurabili...

Mi sono persa un passaggio mentale oppure bastava fermarsi al primo passaggio come mi veniva spontaneo fare?

Paola [;)]

[Sk_Anonymous]

In una dimostrazione corretta il secondo passaggio
e' necessario in quanto le grandezze "o piccolo" sono
trascurabili (per x-->0) non perche' tali in assoluto
ma rispetto alle corrispondenti funzioni
(ovvero per definizione:lim{o(g(x))/g(x))}= 0 e cosi per l'altra
funzione).
Ovviamente,nel calcolo pratico,tutto questo giro
e' superfluo.
karl.

[fireball1]

Noi in Analisi, dopo aver fatto gli infinitesimi, siamo
passati alle derivate, senza trattare gli "o piccoli"...
Che cosa sono? Non è che magari voi li chiamate o piccoli
e il mio libro li chiama in un altro modo?

[_prime_number]

E' uno dei simboli di Landau... Significa "trascurabile rispetto a"...

Per me li farete... Perchè i teoremi che ne fanno uso sono potentissimi in alcune forme indeterminate! ^^

Paola

ps Non so se possano chiamarsi in altro modo...

[fireball1]

Non so se li facciamo... In ogni caso IO me li faccio!! [:D]

[_prime_number]

Grande, grande... fai bene a prendere l'iniziativa! ^_-

Paola

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Il fatto è che bisogna specificare se sono trascurabili, mi spiego:
se io moltiplico una generica f(x) per un infinitesimo la funzione tende a zero, quindi il contributo dell'infinitesimo è importante, mentre se lo sommo il suo contributo è insignificante...da qui la necessità per svolgere un ragionamento rigoroso di giustificare il passaggio da f(x)+o(f(x)) a f(x)
Per fireball:
siano f(x) e g(x) funzioni reali definite
si dice che f(x) è un o(g(x)) per x->x0 se il limite per x->x0 di f(x)/g(x) tende a zero, si dice che f(x) è un 0(g(x)) (o grande...) per x->x0 se il limite in quello stesso intorno di f(x)/g(x) esiste ed è finito....

[Maverick2]

fireball non avere fretta. non penso che servano a molto al liceo. poi li farai e anche bene, quindi per ora puoi ancora dedicarti alla matematica "dilettevole"...

[fireball1]

Cosa intendi per "matematica dilettevole"?

[Maverick2]

beh, quelle cose che magari non studierai all'università, tipo geometrie non euclidee, oppure un po' di probabilità applicata ai giochi d'azzardo o cose di questo genere...