Luogo geometrico

[cntrone]

ragazzi sono nel pallone..devo studiare un argomento che non ho trattato nei miei anni scolastici..uffa..comunque ad esempio come potrei rispondere ad un quesito del genere:

Descrivere il luogo dei punti dello spazio equidistanti da due punti P e Q assegnati.

grazie e ciao

[franced]

"cntrone":
Descrivere il luogo dei punti dello spazio equidistanti da due punti P e Q assegnati.

Prendi i due punti

$A=(x_A,y_A,z_A)$ e $B=(x_B,y_B,z_B)$.

I punti $(x,y,z)$ che cerchi hanno la stessa distanza da $A$ e $B$:

$\sqrt((x-x_A)^2+(y-y_A)^2+(z-z_A)^2) = \sqrt((x-x_B)^2+(y-y_B)^2+(z-z_B)^2)$

possiamo elevare tutto al quadrato:

$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2+(z-z_A)^2 = (x-x_B)^2+(y-y_B)^2+(z-z_B)^2$

semplifichi e trovi il piano.

[adaBTTLS1]

"descrivi"...: si tratta del piano perpendicolare al segmento PQ e passante per il punto medio di PQ

[franced]

"adaBTTLS":"descrivi"...: si tratta del piano perpendicolare al segmento PQ e passante per il punto medio di PQ

esatto, e il risultato coincide con il mio procedimento.

[adaBTTLS1]

@ franced: certo!
mi sono permessa di fare quest'aggiunta perché, in base a molte richieste di cntrone, ho pensato che la geometria analitica lo riguardasse in maniera marginale

[franced]

"franced":
$(x-x_A)^2+(y-y_A)^2+(z-z_A)^2 = (x-x_B)^2+(y-y_B)^2+(z-z_B)^2$

semplifichi e trovi il piano.

facendo i calcoli si trova l'equazione cartesiana del piano:

$2(x_A-x_B) x + 2(y_A-y_B) y + 2 (z_A-z_B) z - (x_A^2-x_B^2+y_A^2-y_B^2+z_A^2-z_B^2) = 0$

[franced]

"franced":

facendo i calcoli si trova l'equazione cartesiana del piano:

$2(x_A-x_B) x + 2(y_A-y_B) y + 2 (z_A-z_B) z - (x_A^2-x_B^2+y_A^2-y_B^2+z_A^2-z_B^2) = 0$

Se mettiamo in evidenza i termini $(x_A-x_B)$, $(y_A-y_B)$ e $(z_A-z_B)$ si trova il
punto medio del segmento di estremi $A$ e $B$.

[Russell1]

Come idea generale per "indovinare" dapprima il risultato di questi problemi, per poi chiaramente argomentarlo come si deve, si possono usare delle sezioni, cioè immaginare di tagliare lo spazio con degli opportuni piani. In questo caso io avrei tagliato con tutti i piani per P e per Q. Su ciascuno di essi il punto che descrive il luogo può muoversi su una retta (l'asse del segmento). Immaginando poi di ruotare...

[franced]

Sì, ma si può anche vedere così:

prendi un piano $\pi$ qualsiasi passante per $A$ e $B$, poi
considera l'asse del segmento $AB$ appartenente al piano $\pi$.
A questo punto, se prendi un punto $Z$ su questo asse, puoi anche
"salire" perpendicolarmente al piano $\pi$: i punti così ottenuti sono
ancora equidistanti da $A$ e $B$.

[Russell1]

Certo! Io ho dato solo un esempio... come avrei ragionato io...