Luogo geometrico

[dangernet]

salve a tutti bel forum questo molto utile...vi leggo da un po di tempo ma ora mi sono registrato per porvi un problema che non riesco a risolvere:

Determina l'equazione del luogo dei punti per i quali la somma dei quadrati delle distanze dei due punti A(1;1) e B(1; -1) è doppia rispetto al quadrato della distanza dell'origine O

[codino75]

a che punto ti fermi?
hai qlke idea?
come sei partito?
posta il tuo abbozzo di soluzione, anche se lo ritueni sbagliato.
alex

[dangernet]

avevo pensato di impostare un equazione di secondo grado tipo $AP^2 + BP^2 = PO$

ma non mi esce il risultato

[codino75]

l'impostazione e' corretta (devi pero' mettere anche PO al quadrato).
puoi postare qualche calcolo?
ciao

[Sk_Anonymous]

Dovrebbe essere $AP^2 + BP^2 = 2*PO^2$, il risultato mi viene x=1

[romoletto2]

Poni P(x,y) e fai i calcoli come dice Amelia.
Ora però lancio una piccola sfida:chi sa risolvere il quesito per via sintetica,ovvero senza mettere incognite e
senza risolvere equazioni ?
Cesare

[dangernet]

"amelia":Dovrebbe essere $AP^2 + BP^2 = 2*PO^2$, il risultato mi viene x=1

a me non viene 1

[dangernet]

ooops risolto ora esce anche a me x=1

grazie a todos

[dangernet]

"codino75":l'impostazione e' corretta (devi pero' mettere anche PO al quadrato).
puoi postare qualche calcolo?
ciao

$(x-1)^2+(y-1)^2+(x-1)^2+(y+1)^2 = 2x^2 + 2y^2$

$x^2+1-2x+Y2+1-2y+x^2+1-2x+Y^2+1+2y = 2x^2 +2y^2$

$x=1$

[G.D.5]

@romoletto
Sono interessato alla "sfida" che hai lanciato, ma non so come "accoglierla", nel senso che non so come procedere.
Se nessuno si fa vivo per risolvere la "disputa", puoi, se hai voglia e tempo, mostrare tu come va riolta la "questione"?

[Sk_Anonymous]

Credo di aver capito il "senso" della disputa,
$Oin$ asse del segmento $AB$ e la sua distanza dal segmento $AB$ è uguale alla metà di $bar(AB)$, verificare che i punti per i quali vale $bar(AP)^2+bar(BP)^2=bar(OP)^2$ sono tutti e soli quelli appartenenti alla retta sostegno di $AB$

[G.D.5]

"amelia":Credo di aver capito il "senso" della disputa,
$Oin$ asse del segmento $AB$ e la sua distanza dal segmento $AB$ è uguale alla metà di $bar(AB)$, verificare che i punti per i quali vale $bar(AP)^2+bar(BP)^2=bar(OP)^2$ sono tutti e soli quelli appartenenti alla retta sostegno di $AB$

@ amelia
Perdona la mia ignoranza, ma cosa si intende per retta sostegno di $AB$?

[Sk_Anonymous]

Se ho un segmento che appartiene ad una retta allora quella è la retta sostegno del segmento.
Insomma la retta sostegno del segmento AB è la retta che passa per i punti A e B

[G.D.5]

Ah, ecco! Grazie.

[silvietto1]

Consiglio di fare la figura.
Sia M il punto medio di AB .Dal triangolo ABP ,per il teorema della mediana ,si ha:
$PM^2=1/4*[2(AP^2+BP^2)-AB^2]$
Ma per ipotesi risulta:
$AP^2+BP^2=2*OP^2,AB=2*AM=2*OM$
Sostituendo si ha:
$PM^2=1/4[4*OP^2-4*OM^2]$
da cui deduciamo che :
$PM^2+OM^2=OP^2$
Questa relazione implica che il triangolo OMP risulti rettangolo in M e che dunque P si trovi
sulla retta AB che è pertanto il luogo richiesto.L'equazione di tale luogo è ovviamente x=1.
silvietto