Luogo geometrico
Chiedo un aiutino per il seguente luogo geometrico:
E' data la circonferenza di equazione: $x^2+y^2-2x-8$. Determinare l'equazione del luogo dei punti $P(x;y)$ del piano tali che il segmento PO sia diviso dalla circonferenza in due parti aventi rapporto $k=3$.
E' data la circonferenza di equazione: $x^2+y^2-2x-8$. Determinare l'equazione del luogo dei punti $P(x;y)$ del piano tali che il segmento PO sia diviso dalla circonferenza in due parti aventi rapporto $k=3$.
Risposte
Inizia ricavando la formula della circonferenza data in forma canonica...
Per il resto, poiché i segmenti PO hanno lunghezza uguale e partono dal centro della nostra circonferenza, se ne deduce che i luoghi geometrici cercati sono due circonferenze concentriche. Una avrà raggio $r+r/3$ e la seconda $r+3r$.
Questo perché il testo non specifica il numeratore e denominatore del rapporto.
I calcoli si fanno anche a mente!
Per il resto, poiché i segmenti PO hanno lunghezza uguale e partono dal centro della nostra circonferenza, se ne deduce che i luoghi geometrici cercati sono due circonferenze concentriche. Una avrà raggio $r+r/3$ e la seconda $r+3r$.
Questo perché il testo non specifica il numeratore e denominatore del rapporto.
I calcoli si fanno anche a mente!
NB quella che hai scritto non è una circonferenza, la circonferenza dovrebbe essere $ x^2+y^2-2x-8=0 $
"Bokonon":
Inizia ricavando la formula della circonferenza data in forma canonica...
Per il resto, poiché i segmenti PO hanno lunghezza uguale e partono dal centro della nostra circonferenza, se ne deduce che i luoghi geometrici cercati sono due circonferenze concentriche. Una avrà raggio $ r+r/3 $ e la seconda $ r+3r $.
Questo perché il testo non specifica il numeratore e denominatore del rapporto.
I calcoli si fanno anche a mente!
La circonferenza assegnata ha C(1,0) r=3. Quindi, se O individua il centro degli assi ovvero O(0,0), i segmenti non partono dal suo centro, e la soluzione non è corretta.
Che punto è O ?
O è l'origine degli assi. Ho provato a mettere a sistema la retta PO $(y=mx)$ e la circonferenza data, per ottenere le coordinate dell'intersezione della retta con la circonferenza. Ma poi mi sono arenato. Qualcuno mi aiuti.
Magari è possibile qualche soluzione più brillante in questo caso, ma in generale devi:
1) Ipotizzare un punto generico di coordinate $(x_P, y_P)$
2) Scrivere la retta centrata in O e passante per P ovvero $y=y_P/x_P*x$
3) Mettere a sistema con l'equazione della circonferenza. Troverai 2 soluzioni reali ovvero 2 punti M ed N in cui ascissa e ordinata dipendono da quelle di P.
4) Per ciascuna soluzione di cui sopra puoi calcolare la distanza dal centro e quindi imporre la condizione che tale distanza sia k1=1/4 oppure k2=3/4 rispetto alla distanza $sqrt(x_P^2+y_P^2)$
5) La condizione sopra ti porta quindi ad una relazione tra le coordinate di P che è il luogo dei punti cercato.
Note
a) Mi sa che i conti siano un pò pesanti ma non difficili
b) in teoria dovresti trovare 4 curve in funzione della scelta di M ed N e di k1 e k2.
1) Ipotizzare un punto generico di coordinate $(x_P, y_P)$
2) Scrivere la retta centrata in O e passante per P ovvero $y=y_P/x_P*x$
3) Mettere a sistema con l'equazione della circonferenza. Troverai 2 soluzioni reali ovvero 2 punti M ed N in cui ascissa e ordinata dipendono da quelle di P.
4) Per ciascuna soluzione di cui sopra puoi calcolare la distanza dal centro e quindi imporre la condizione che tale distanza sia k1=1/4 oppure k2=3/4 rispetto alla distanza $sqrt(x_P^2+y_P^2)$
5) La condizione sopra ti porta quindi ad una relazione tra le coordinate di P che è il luogo dei punti cercato.
Note
a) Mi sa che i conti siano un pò pesanti ma non difficili
b) in teoria dovresti trovare 4 curve in funzione della scelta di M ed N e di k1 e k2.
"IPPASO40":
Chiedo un aiutino per il seguente luogo geometrico:
E' data la circonferenza di equazione: $x^2+y^2-2x-8$. Determinare l'equazione del luogo dei punti $P(x;y)$ del piano tali che il segmento PO sia diviso dalla circonferenza in due parti aventi rapporto $k=3$.
Si tratta di un'altra circonferenza ottenuta dalla prima con una dilatazione di quattro volte rispetto all'origine (ogni punto P del luogo cercato è 4 volte più lontano da O del punto della circonferenza iniziale che sta su PO). E' sufficiente un cambiamento di coordinate $X = 4x$ e $Y = 4y$
"mgrau":
Si tratta di un'altra circonferenza ottenuta dalla prima con una dilatazione di quattro volte rispetto all'origine (ogni punto P del luogo cercato è 4 volte più lontano da O del punto della circonferenza iniziale che sta su PO). E' sufficiente un cambiamento di coordinate X=4x e Y=4y
Si, mi torna. In pratica sarebbe la circonferenza C(4,0) r=12
$x^2+y^2-8x-128=0$
nel caso di dilatazione, oppure la circonferenza C(1/4,0) r=3/4
$16x^2+16y^2-8x-8=0$
nel caso di contrazione. Molto meglio che farsi tutti i calcoli!
Ho solo un'obiezione: mi sembra probabile che IPPASO40 non abbia mai sentito parlare di dilatazioni. Do quindi una soluzione che non le cita; in sostanza è la vostra, oppure quella di Bokonon con la sua svista corretta.
Detto A un punto della circonferenza, P deve trovarsi sul prolungamento di OA e deve essere PA=3*OA (oppure OA=3*PA: non considero questo caso, che si risolve in modo analogo all'attuale). Si ha quindi
$PO-OA=3*OA->PO=4*OA harr OA=1/4 PO$
La penultima scritta aiuta a visualizzare le cose, mentre l'ultima è utile nei calcoli. Proiettando questi segmenti sugli assi e notando che non ci sono problemi di segno, abbiamo
${(x_A=1/4x),(y_A=1/4y):}$
e poiché A sta sulla circonferenza, sostituiamo in essa questi valori. Otteniamo la circonferenza con raggio e coordinate del centro moltiplicate per 4.
Detto A un punto della circonferenza, P deve trovarsi sul prolungamento di OA e deve essere PA=3*OA (oppure OA=3*PA: non considero questo caso, che si risolve in modo analogo all'attuale). Si ha quindi
$PO-OA=3*OA->PO=4*OA harr OA=1/4 PO$
La penultima scritta aiuta a visualizzare le cose, mentre l'ultima è utile nei calcoli. Proiettando questi segmenti sugli assi e notando che non ci sono problemi di segno, abbiamo
${(x_A=1/4x),(y_A=1/4y):}$
e poiché A sta sulla circonferenza, sostituiamo in essa questi valori. Otteniamo la circonferenza con raggio e coordinate del centro moltiplicate per 4.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo