Luogo geometrico
Ho difficoltà nella risoluzione del seguente problema:In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali sono dati i punti A(-3; 0), B(3; 0) e C(0; 2). Scrivere l'equazione della circonferenza di centro C e raggio CA e su di essa si consideri un punto D.
Sia M il punto medio della corda BD e P il piede della perpendicolare condotta da M alla corda AD.
Determinare l'equazione del luogo descritto dal punto P al variare di D sulla circonferenza.
L'equazione della retta AD è $ y=m(x+3) $.
Risolvendo il sistema formato dalle equazioni della retta AD e della circonferenza si devono ottenere le coordinate del punto D e qui ho difficoltà che non mi permettono di andare oltre.
Qualcuno mi può aiutare? Grazie.
Risposte
Sei partito nel modo giusto, ma evidentemente hai fatto qualche errore di calcolo. L'equazione della circonferenza è
$x^2+y^2-4y-9=0$
e sostituendovi la $y$ ottieni
$x^2(m^2+1)+2x(3m^2-2m)+(9m^2-12m-9)=0$
che ha $Delta/4=(2m+3)^2$
Controlla con i tuoi risultati.
$x^2+y^2-4y-9=0$
e sostituendovi la $y$ ottieni
$x^2(m^2+1)+2x(3m^2-2m)+(9m^2-12m-9)=0$
che ha $Delta/4=(2m+3)^2$
Controlla con i tuoi risultati.
Hai ragione, la distrazione è una brutta bestia. Ti ringrazio di cuore. Ciao.
Ho calcolato le coordinate del punto D e del punto M. Quelle del punto M mi permettono di scrivere l'equazione del fascio il cui coefficiente angolare è $m'$. Il coefficiente angolare della retta AD è $m$. Ho cercato di applicare la condizione di perpendicolarità $mm'=-1$. Qui mi sono arenato. Vi prego di aiutarmi. Grazie.
Hai trovato $m$ coefficiente angolare della retta $AD$? Da esso ricavi $m'$ e poi la retta $MP$.
Aiuto!!! Ho provato in tutti i modi, ma non riesco a trovare questo luogo geometrico. Ringrazio anticipatamente colui che mi darà una mano.
L'equazione della circonferenza c di centro C passante per A ( e per B) è :
$ x^2+y^2-4y-9=0$
L'equazione della generica retta r per A è:
$y=m(x+3)$
Le coordinate dell'intersezione D di c con r si trovano allora risolvendo il sistema :
\begin{cases}y=m(x+3)\\x^2+y^2-4y-9=0\end{cases}
Da qui , con qualche calcolo, si ricavano le coordinate di D :
$D(\frac{-3m^2+4m+3}{1+m^2},\frac{4m^2+6m}{1+m^2})$
E quindi le coordinate di M sono :
$M(\frac{2m+3}{1+m^2},\frac{2m^2+3m}{1+m^2})$
La retta per M perpendicolare ad AD ha equazione:
$y-\frac{2m^2+3m}{1+m^2}=-\frac{1}{m}(x-\frac{2m+3}{1+m^2})$
Ovvero :
$y+x/m={2m^2+3m}/{1+m^2}+{2m+3}/{m(1+m^2)}$
che con qualche semplificazione diventa:
$x+my=2m+3$
Di conseguenza le coordinate del punto P sono le soluzioni del sistema:
\begin{cases}y=m(x+3)\\x+my=2m+3\end{cases}
Eliminando dal sistema il parametro m, si ha l'equazione del luogo :
$x^2+y^2-2y-9=0$
Si tratta della circonferenza di centro $(0,1)$ e raggio=$\sqrt{10}$
$ x^2+y^2-4y-9=0$
L'equazione della generica retta r per A è:
$y=m(x+3)$
Le coordinate dell'intersezione D di c con r si trovano allora risolvendo il sistema :
\begin{cases}y=m(x+3)\\x^2+y^2-4y-9=0\end{cases}
Da qui , con qualche calcolo, si ricavano le coordinate di D :
$D(\frac{-3m^2+4m+3}{1+m^2},\frac{4m^2+6m}{1+m^2})$
E quindi le coordinate di M sono :
$M(\frac{2m+3}{1+m^2},\frac{2m^2+3m}{1+m^2})$
La retta per M perpendicolare ad AD ha equazione:
$y-\frac{2m^2+3m}{1+m^2}=-\frac{1}{m}(x-\frac{2m+3}{1+m^2})$
Ovvero :
$y+x/m={2m^2+3m}/{1+m^2}+{2m+3}/{m(1+m^2)}$
che con qualche semplificazione diventa:
$x+my=2m+3$
Di conseguenza le coordinate del punto P sono le soluzioni del sistema:
\begin{cases}y=m(x+3)\\x+my=2m+3\end{cases}
Eliminando dal sistema il parametro m, si ha l'equazione del luogo :
$x^2+y^2-2y-9=0$
Si tratta della circonferenza di centro $(0,1)$ e raggio=$\sqrt{10}$
A completamento della soluzione ho preparato anche un'applet. Dopo aver cliccato sull'immagine ( come richiesto) potete mandare l'applet in escuzione premendo il triangolino in basso a sinistra (premendo di nuovo, l'applet si fermerà). Si vedrà il punto P descrivere il luogo richiesto mentre il punto D si muove sulla circonferenza data
[geogebra]
[geogebra]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo