Luogo dei vertici di un insieme di parabole

[driver_458]

qual è il luogo dei vertici delle parabole $y=ax^2+a^2x+a^3/4-a^2+2a-1$ al variare di a diverso da 0?

[redlex91-votailprof]

Se prendi una generica parabola $y=ax^2+bx+c$ allora le coordinate del vertice sono:
$x=-b/(2a)$
$y=-Delta/(4a)=-(b^2-4ac)/(4a)$

Nel nostro caso sarà:

${(x=-(a^2)/(2a)),(y=-(a^4-4a(a^3/4-a^2+2a-1))/(4a)):}
Non ti resta che risolvere rispetto a y e trovi il luogo. Divertiti

___
${(x=-(a^2)/(2a)rArr a=-2x),(y=-((-2x)^4-4(-2x)((-2x)^3/4-(-2x)^2+2(-2x)-1))/(4(-2x))):}
$rArr y=-(16x^4-16x^4+32x^3+32x^2-8x)/(-8x)=-(-8x(4x^2+4x+1))/(-8x)=-4x^2-4x-1

Luogo dei vertici: $y=-4x^2-4x-1$

[Nicole931]

trova le coordinate del generico vertice : $x=-a/2 $ , per la y , anzichè usare la formula, basta sostituire questo valore alla x
poni le due coordinate a sistema ed elimina il parametro, ricavandolo dalla prima equazione e sostituendolo nella seconda: ottieni un'equazione in x ed y che sarà l'equazione del luogo richiesto

[franced]

Dall'equazione $y=ax^2+a^2x+a^3/4-a^2+2a-1$ ci ricaviamo
l'ascissa del vertice:

$x_V = - (a^2)/(2*a) = -a/2 (a \ne 0)$

da cui ricaviamo $a = - 2 x_V$

poiché $y_V = a (x_V)^2 + a^2 x_V + a^3/4 - a^2 + 2a - 1$,

sostituendo $a = - 2 x_V$ ($a \ne 0 -> x_V \ne 0$) troviamo:

$y_V = -4 (x_V)^2 - 4 x_V - 1$ (il luogo è una parabola privata del punto $(0 ; -1)$).

[franced]

[mod="franced"]Ho modificato il titolo.
Il precedente era "luogo delle parabole": non era corretto..[/mod]

[redlex91-votailprof]

Una roba: il punto $(0;-1)$ non verrebbe escluso dal luogo, dato che usando entrambe le coordinate generiche del vertice a sistema ho $-8x$ a denominatore quindi $-8x!=0 rArr x!=0 rArr (0;-1)notiny=-4x^2-4x-1$?

[franced]

Sì, il luogo è una parabola priva di un suo punto.