Luoghi geometrici e funzioni
Sia $a$ una circonferenza e $r$ una retta esterna a essa. Si consideri la corrispondenza che associa a ogni punto $P$ di $a$ il punto in cui la tangente ad $a$ in $P$ interseca $r$. Quali sono i punti di $a$ cui non corrisponde alcun punto di $r$?
Qui ho risposto così: i due punti per i quali la tangente ad $a$ risulta parallela alla retta $r$;
escludendo questi due punti la corrispondenza mi risulta una funzione con dominio $a$ e codominio $r$.
Dal punto di vista insiemistico mi viene da considerarla una funzione iniettiva(escludendo i due punti) se considero come codomio tutta la $r$ e biunivoca se escludo i punti della retta $r$ che non hanno controimmagini.
Cosa ne pensate?
Qui ho risposto così: i due punti per i quali la tangente ad $a$ risulta parallela alla retta $r$;
escludendo questi due punti la corrispondenza mi risulta una funzione con dominio $a$ e codominio $r$.
Dal punto di vista insiemistico mi viene da considerarla una funzione iniettiva(escludendo i due punti) se considero come codomio tutta la $r$ e biunivoca se escludo i punti della retta $r$ che non hanno controimmagini.
Cosa ne pensate?
Risposte
Avrei risposto che i due punti di $a$ che non hanno imagine in $r$ sono gli estremi del diametro perpendicolare ad $r$.
Dal punto di vista insiemistico la funzione è sempre suriettiva, quando $a$ ed $r$ sono esterne, ma non è iniettiva.
Prendi un qualunque punto $R$ di $r$ e porta le due tangenti alla circonferenza che la intersecheranno in $A$ e $B$, $f(A)=f(B)=R$ e questo succede per ogni punto della retta $r$ perché "da un punto esterno alla circonferenza si possono condurre sempre due tangenti alla ciconferenza stessa".
Dal punto di vista insiemistico la funzione è sempre suriettiva, quando $a$ ed $r$ sono esterne, ma non è iniettiva.
Prendi un qualunque punto $R$ di $r$ e porta le due tangenti alla circonferenza che la intersecheranno in $A$ e $B$, $f(A)=f(B)=R$ e questo succede per ogni punto della retta $r$ perché "da un punto esterno alla circonferenza si possono condurre sempre due tangenti alla ciconferenza stessa".
Sto analizzando altri casi...
Sia $a$ una circonferenza di centro $O$ e $r$ una retta passante per $O$ . Si consideri la corrispondenza che associa a ogni punto $P$ di $a$ il punto $Q$ in cui $r$ interseca la tangente ad $a$ passante per $P$. Quali sono i punti di $a$ cui non corrisponde alcun punto di $r$?
Anche qui, i due punti di $a$ che non hanno imagine in $r$ sono gli estremi del diametro perpendicolare ad $r$;
escludendo questi due punti la corrispondenza mi risulta una funzione con dominio $a$ e codominio $r$.
In questo caso è una funzione iniettiva(escludendo i due punti) e se escludo la parte della retta $r$ interna alla circonferenza è anche biunivoca.
Altro caso:
date tre rette $r,s,t$, di cui la terza non parallela alla prime due, consideriamo tra $r$ e $s$ la corrispondenza che a ogni $P in r$ associa il punto $Q ins$ tale che $PQ|\|PvvP-=Q$, $P in r$, $Qins$.
Per me si tratta di una funzionne biunivoca con dominio in $r$ e codominio in $s$.
Sia $a$ una circonferenza di centro $O$ e $r$ una retta passante per $O$ . Si consideri la corrispondenza che associa a ogni punto $P$ di $a$ il punto $Q$ in cui $r$ interseca la tangente ad $a$ passante per $P$. Quali sono i punti di $a$ cui non corrisponde alcun punto di $r$?
Anche qui, i due punti di $a$ che non hanno imagine in $r$ sono gli estremi del diametro perpendicolare ad $r$;
escludendo questi due punti la corrispondenza mi risulta una funzione con dominio $a$ e codominio $r$.
In questo caso è una funzione iniettiva(escludendo i due punti) e se escludo la parte della retta $r$ interna alla circonferenza è anche biunivoca.
Altro caso:
date tre rette $r,s,t$, di cui la terza non parallela alla prime due, consideriamo tra $r$ e $s$ la corrispondenza che a ogni $P in r$ associa il punto $Q ins$ tale che $PQ|\|PvvP-=Q$, $P in r$, $Qins$.
Per me si tratta di una funzionne biunivoca con dominio in $r$ e codominio in $s$.
Ma leggere i consigli, mai, vero?
Hai ragione! E grazie per la collaborazione.
Sia $a$ una circonferenza di centro $O$ e $r$ una retta passante per $O$ . Si consideri la corrispondenza che associa a ogni punto $P$ di $a$ il punto $Q$ in cui $r$ interseca la tangente ad $a$ passante per $P$. Quali sono i punti di $a$ cui non corrisponde alcun punto di $r$?
Anche qui, i due punti di $a$ che non hanno imagine in $r$ sono gli estremi del diametro perpendicolare ad $r$;
escludendo questi due punti la corrispondenza mi risulta una funzione con dominio $a$ e codominio $r$.
In questo caso la funzione (escludendo solo i due punti citati prima, non risulta né iniettiva, né suriettiva.
Escludendo invece i due punti della circonferenza che non hanno immagine in $r$ e quella parte di $r$ interna alla circonferenza la funzione è suriettiva.
Sia $a$ una circonferenza di centro $O$ e $r$ una retta passante per $O$ . Si consideri la corrispondenza che associa a ogni punto $P$ di $a$ il punto $Q$ in cui $r$ interseca la tangente ad $a$ passante per $P$. Quali sono i punti di $a$ cui non corrisponde alcun punto di $r$?
Anche qui, i due punti di $a$ che non hanno imagine in $r$ sono gli estremi del diametro perpendicolare ad $r$;
escludendo questi due punti la corrispondenza mi risulta una funzione con dominio $a$ e codominio $r$.
In questo caso la funzione (escludendo solo i due punti citati prima, non risulta né iniettiva, né suriettiva.
Escludendo invece i due punti della circonferenza che non hanno immagine in $r$ e quella parte di $r$ interna alla circonferenza la funzione è suriettiva.
Adesso ci sei.
Ancora sulle funzioni:
siano $r,s,t$ tre rette tra loro parallele e siano $f:r=>s$ e $g: s=>t$ due proiezioni parallele, secondo direzioni assegnate diverse da quella delle rette date.
Se considero la funzione composta $g@f$ , dirò che si tratta di una proiezione di r su t( sia se considero il caso in cui le due proiezioni avvengono lungo la stessa direzione, sia se considero il caso in cui tali direzioni sono diverse).
Ma come potrei dimostrare che $g@f$ è una proiezione parallela di r su t?
Grazie sempre per la collaborazione
siano $r,s,t$ tre rette tra loro parallele e siano $f:r=>s$ e $g: s=>t$ due proiezioni parallele, secondo direzioni assegnate diverse da quella delle rette date.
Se considero la funzione composta $g@f$ , dirò che si tratta di una proiezione di r su t( sia se considero il caso in cui le due proiezioni avvengono lungo la stessa direzione, sia se considero il caso in cui tali direzioni sono diverse).
Ma come potrei dimostrare che $g@f$ è una proiezione parallela di r su t?
Grazie sempre per la collaborazione
Vuoi affidarti all'algebra o alla geometria?
Nel primo caso mi affiderei ai vettori individuati dalla proiezione parallela, non secondo alla congruenza dei triangoli RST e R'S'T', dove R sta su r, S su S e T su t.
Nel primo caso mi affiderei ai vettori individuati dalla proiezione parallela, non secondo alla congruenza dei triangoli RST e R'S'T', dove R sta su r, S su S e T su t.
Nel primo caso mi affiderei ai vettori individuati dalla proiezione parallela.
Provo a vedere se ho capito: la somma dei due vettori che individuano le due proiezioni è uguale alla somma del vettore che individua la funzione composta $g @f$;
nel secondo caso congruenza dei triangoli RST e R'S'T', dove R sta su r, S su S e T su t: i due triangoli hanno la stessa area.
Provo a vedere se ho capito: la somma dei due vettori che individuano le due proiezioni è uguale alla somma del vettore che individua la funzione composta $g @f$;
nel secondo caso congruenza dei triangoli RST e R'S'T', dove R sta su r, S su S e T su t: i due triangoli hanno la stessa area.
Il primo metodo è come lo avevo pensato
Molto di più, sono proprio congruenti.
"marcus112":
nel secondo caso congruenza dei triangoli RST e R'S'T', dove R sta su r, S su S e T su t: i due triangoli hanno la stessa area.
Molto di più, sono proprio congruenti.
Per meglio fissare le idee ho provato ad allegare il grafico....nel secondo caso (i due triangoli sono congruenti) intendevi così?
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