$logx+2x$

[ramarro1]

Buongiorno, scusate il disturbo, scrivo questo esercizio, è uno studio di funzione della funzione $f(x)=logx+2x$...

INSIEME DI DEFINIZIONE
$(0;+oo)$

STUDIO DEL SEGNO
procedo con il metodo grafico, quindi calcolo prima la prima parte, poi la seconda facendo i limiti per i rispettivi estremi:
a-$lim_(x->0)logx=-oo$
b-$lim_(x->+oo)logx=+oo$
c-$lim_(x->0)2x=0$
d-$lim_(x->+oo)2x=+oo$
FUSIONE DEI RISULTATI
a+c=$-oo$
b+d=$+oo$
ecco qua cè un problema...perchè vuol dire che nel dominio cha va da $(0;+oo)$ cè un punto in cui prima la funzione è negaticva poi sara positiva perchè sembra che le due funzioni si toccano in un punto....ilproblema è che non so come deerminarlo, conosco alcune tecniche che ricavano approssimativamente quel punto di condivisione fra le 2 funzioni, ma sono cose che non rientrano nel mio corso (è un corso di matematica che è, se pur di poco, inferiore all'analisi 1)...quindi per lo studio del segno non so che cosa potrei fare d'altro

LIMITI
$lim_(x->0)f(x)=-oo$
$lim_(x->+oo)f(x)=+oo$
DERIVATA
$1/x+2$

CRESCENZA O DECRESCENZA

$N:2x+1>=0$
$D:x>=0$
quindi mi dice che la funzione è sempre crescente....in realta prima dello $0$ decresce ma uqella parte non esiste perchè non cade nella REALTA $(0;+oo)$

DERIVATA SECONDA
$(2x-2)/x^2>=0$
$(2x-2)>=0$
$x^2>=0$ sempre $>=0$
quindi ho una parte concava che arriva fino a $1$ poi convessa da $(1;+oo)$

ecco ora pero come faccio a fare il grafico a mano senza supporti informatici se non posso colorare le parti dello studio del segno in cui NON passa la funzione?
Grazie
Cordiali saluti

[donald_zeka]

Hai sbagliato qualche conto:

Dominio: $x>0$

Positività : $x>x_0, x_0 in ]0,1[$

Si annulla in $x=x_0$

Per $x->0^+ f(x)=-oo$

Per $x->+oo f(x)=+oo$

Derivata prima: $1/x+2 >0$ per qualsiasi $x$ appartenente al dominio, dunque la funzione è sempre crescente

Derivata seconda: $-1/x^2$ , negativa per qualsiasi $x$ appartenente al dominio, dunque la funzione è sempre concava

Basta e avanza per fare il grafico.

[ramarro1]

Scusa ma non ho capito come hai trovato il risultato relativo allo studio del segno, io dallo studio del segno capisco che cè una parte negativa e una positiva, dato che prima la somma dei 2 limiti mi da $--oo$ poi $+oo$ ma non so dove si ha questo cambio di segno....come fai a dirlo?puoi spiegarmelo per favore?Cmq grazie per la risposta che mi hai scritto precedentemente

[donald_zeka]

Il risultato preciso di dove la funzione cambi segno non si può sapere, ma si può trovare una sua approssimazione o un intervallo in cui è compresa.

Dunque tu vuoi risolvere la disequazione:

$logx+2x>0$

$logx> -2x$

Quindi nelle $x$ in cui il grafico del logaritmo sta sopra alla retta $y=-2x$ la nostra funzione è positiva, nelle $x$ in cui il logaritmo sta sotto a $y=-2x$ allora la funzione è negativa, dove il grafico del logaritmo interseca la retta, allora li la funzione vale $0$.

Fai il grafico di $y=logx$ e di $y=-2x$ e noti che si intersecano una e una sola volta in un punto $x_0$ compreso tra $0$ e $1$, il logaritmo sta sopra alla retta $y=-2x$ per $x>x_0$, dunque per $x>x_0$ la funzione è positiva, mentre per $x
Quanto valga effettivamente $x_0$ non ci interessa, ci basta solo sapere che è un punto compreso tra $0$ e $1$, se invece sapere che $x_0$ è compresa tra $0$ e $1$ non ti è sufficiente allora per trovare un intervallo più piccolo in cui è compresa, il metodo più semplice è il metodo di bisezione, che non so se lo hai affrontato.

[ramarro1]

ah ho capito, allora si vede che il grafico in questo caso si fa proprio in mofo rudimentale dato che non possiamo trovare quel punto, e cmq no, il metodo di bisezione non fa parte del corso, quindi si puo dire che il mio studio di funzione in realta andava bene e il grafico da disegnare sara proprio scarno e rudimentale dato che cè l'impossibilita di calcolare alcuni dettagli dello studio del segno, ho capito bene?
Graize
Cordiali saluti

[donald_zeka]

Esatto, se non hai fatto metodi per trovare soluzioni approssimate di una equazione allora lo studio si ferma li, ossia una funzione concava e strettamente crescente che parte da meno infinito in $x->0^+$ e va a + infinito in $x->+oo$ e interseca l'asse x in $x_0 in ]0,1[$