Logaritmo e disequazione

[twintwin-votailprof]

Avrei bisogno di una mano a capire un concetto:

Come trovare la X in una disequazione di questo tipo $ln(x-2)<-M$ utilizzando solo metodi algebrici.

Non saprei proprio come "tirarla fuori". Chi mi aiuta?

[ELWOOD1]

per eliminare il logaritmo io utilizzerei la sua funzione inversa....

$e^{ln(x-2)}
dunque:

$x

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[twintwin-votailprof]

Scusami Elwood ma il secondo passaggio non l'ho capito.

Come fai ad eliminare $e^ln(x-2)$ e a sostituirlo con $x-2$ ?

Sono un po' lenta devi perdonarmi per questo ^^

[ELWOOD1]

Figurati!

detta molto terra-terra (e di questo mi scuso) se tu applichi una funzione inversa ad una funzione....ti ritrovi semplicemente col suo argomento....ad esempio se tu hai $\sqrt{x+2}=0$ allora per eliminare la radice applichi la "sua funzione inversa" che è l'elevamento al quadrato...ottenendo $x+2=0$ e quindi $x=-2$

la funzione inversa del logaritmo naturale è l'esponenziale....e quindi $e^{ln(f(x))}=f(x)$

spero di averti dato il senso con un linguaggio non propriamente matematico

[twintwin-votailprof]

Ho compreso il discorso ^^ grazie mille Elwood!

[oronte83]

Direi però che la soluzione è

$2
dal momento che il logaritmo esiste solo se $x>2$....

L'equazione si può risolvere anche come logaritmica, senza ricorrere alla funzione esponenziale:

$ln(x-2)
da cui

$x-2
P.S. Il quadrato non è la funzione inversa della radice...Per esponenziali e logaritmi il discorso sull'inversa funziona. Quando si risolvono le irrazionali non si usa la funzione inversa.

$y=sqrt(x+2)$

Per calcolare l'inversa:

$x->y$
$y->x$

$x=sqrt(y+2)$

Elevo al quadrato

$x^2=y+2$

da cui

$y=x^2-2$ che è l'inversa cercata (a dire il vero mi interessera' un solo ramo di questa parabola).
Questo per dire che $x+2$ non è l'inverso di $sqrt(x+2)$.

Che rompi che sono eh

[ELWOOD1]

oronte83


Direi però che la soluzione è

2
dal momento che il logaritmo esiste solo se x>2....

Forse era una condizione che si poteva anche omettere visto che l'esponenziale non assume mai valori negativi (tali quindi da rendere $x<=2$)

Ok per la funzione inversa hai ragione, nel caso della radice avrei dovuto dire operazione inversa....
Quel che so è che forse spiegandolo attraverso questi formalismi ci sarebbe stata un pò di confusione.
Suvvia, un pò di buon senso!

[ELWOOD1]

oronte83


Direi però che la soluzione è

2
dal momento che il logaritmo esiste solo se x>2....

Forse era una condizione che si poteva anche omettere visto che l'esponenziale non assume mai valori negativi (tali quindi da rendere $x<=2$)

Ok per la funzione inversa hai ragione, nel caso della radice avrei dovuto dire operazione inversa....
Quel che so è che forse spiegandolo attraverso questi formalismi ci sarebbe stata un pò di confusione, in caso contrario me ne scuso(come ho fatto nel post precedente), però suvvia, un pò di buon senso!

[oronte83]

"ELWOOD":
Forse era una condizione che si poteva anche omettere visto che l'esponenziale non assume mai valori negativi (tali quindi da rendere $x<=2$)

Non si può mai omettere la condizione di esistenza di un logaritmo...una funzione esponenziale esiste se esiste il suo esponente. Questo è un tipico errore nel quale si incorre perche, dal momento che $e^x$ esiste sempre, si riduce a questo caso ciascuna funzione esponenziale.
In secondo luogo non si parla di valori assunti dalla funzione (quindi di valori di $y$), ma di valori di $x$. Il fatto che x sia minore di 2, non c'entra con la positività o meno delle y. L'esponenziale è sempre positiva e cio si traduce in $y>0$.
Perdona il mio poco buon senso, ma io preferisco il rigore, che a mio avviso ancora è necessario per capire bene le cose. A rischio di complicare i discorsi, pero secondo me non si può dire a una persona che magari non lo sa, che elevare al quadrato vuol dire trovare la funzione inversa della radice. Cosi semplifichiamo un concetto, ma creiamo un cosiddetto ostacolo didattico, dal quale si fa fatica spesso a riprendersi (come, ad esempio, per chi chiama inversa la reciproca di una funzione).