Logaritmo (208101)

[chiaraparisi]

salve, scusate ancora il disturbo, sto facendo i teoremi dei logaritmi.
logarad3 (a si trova a pedice).

[carlogiannini]

Il logaritmo è, come già detto, una operazione che come risultato ci da un numero che è UN ESPONENTE, cioè:
il logaritmo in base 10 di 10.000 è l'esponente da dare alla base "10" per ottenere l' argomento del logaritmo "10.000", quindi:

[math]log_{10}10000=4\\perchè\\10^4=10000[/math]

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Quindi, per capire come funzionano i logaritmi bisogna capire come "lavorare" con gli esponenti.
Quando sommiamo due (o più) monomi sappiamo che le parti letterali NON CAMBIANO, quindi neanche (anzi TANTOMENO) gli esponenti, per cui

[math]\log{(A\pm B)}[/math]

. così è, e così rimane.
Invece quando MOLTIPLICHIAMO due monomi i coefficienti si MOLTIPLICANO mentre gli esponenti si SOMMANO:
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[math]4a^4\cdot 5a^5=4aaaa\cdot 5aaaaa=20a^9=20a^{(4+5)}[/math]

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Quindi l'esponente di un prodotto è la SOMMA degli esponenti.
Per questo motivo
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[math]\log{(A\cdot B)}=\log{A}\ +\ log{B}\\\log{A^3}=\log{(AAA)}=\log{A}+\log{A}+\log{A}=3\log{A}\\analogamente\\\log{\frac{A}{B}}=\log{A}-\log{B}[/math]

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Da qui l'importanza dei logaritmi che riescono a "trasformare" prodotti e divisioni in somme e differenza.
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Per quanto riguarda la tua domanda, dobbiamo sempre ricorrere alle proprietà delle potenze (e delle radici)

[math]\sqrt{a}=a^\frac{1}{2}\\\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}\\\sqrt[5]{a^4}=a^{\frac{4}{5}}\\in\ generale\\\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}[/math]

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. che si legge
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a ELEVATA alla "m" SOTTO radice "n"esima, per cui è facile ricordare che "n" (l'indice di radice) va SOTTO al denominatore.
Quindi:
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[math]\log_{a}{\sqrt3}=\frac{1}{2}\log_{a}3[/math]

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Fammi sapere se sono stato chiaro