LOGARITMICHE:stesse equazioni, campi di esistenza differenti

[93felipe]

Ho eseguito questi 2 esercizi e non capisco perchè vengano fuori due risultati differenti?o meglio due campi di esistenza differenti?

$log((x-3)/(x-1))=1$ il cui campo di esistenza è $((x-3)/(x-1))>0$ ed eseguendo i calcoli $C.E.: x<1 \vee x>3 $

quindi risolvendo l'equazione ottengo come risultato $x=7/9$

mentre questa equazione $log(x-3)-log(x-1)=1$ il cui CE è $ \{x-3>0 \vee x-5>0$ ed eseguendo i calcoli $C.E.: x>3$

ed appplicando la proprietà dei logaritmi all'equazione ottengo nuovamente
$log((x-3)/(x-1))=1$ e soluzione $x=7/9$ e la soluzione deve essere scartata perchè incompatibile con il campo di esistenza

perchè due campi di esistenza differenti? in base a quale criterio? c'è qualcosa di generale?

stessa cosa si ripete nella seguente coppia di equazioni:

$2log_2x+log_2(x^2-15)=4$ che ha come $C.E.x<-\sqrt(15) \vee x>\sqrt(15)$

e qest' altra $2log_2x+log_2(x-\sqrt{15))+log_2(x+ \sqrt{15))=4$ il cui dominio è $C.E.: x>\sqrt{15)$

e come sopra per la proprietà dei logaritmi posso riscrivere come

$2log_2x+log_2(x^2-15)=4$

avendo due soluzioni, rispettivamente $+-4$ per un campo di esistenza dovrò escluderne una, per l'altro no!!!

[Sk_Anonymous]

In una riga:
\[\displaystyle \log(x \cdot y) = \log x + \log y \qquad \Leftrightarrow \qquad x,y>0\]

[FedeCapo1]

non è che apllicando le regole dei logartimi spariscano le condizioni di esistenza. infatti nel primo caso, con la frazione, il logaritmo può esistere se numeratire e denominatore sono entramvi negativi giacché l'argomento rimane positivo. Invece i due logaritm separati devono avere entrambi argomento positivo e così tagli un pezzo di CE che rimane tale anche dopo l'applicazione delle proprietà. tieni a mente che le due equazioni nn sono uguali!

P.S. Un problema del genere si era già posto nel Cinquecento per la soluzione delle cubiche. Delle soluzioni che, si vedeva, esistevano non venivano indicate dalla formula di Cardano perché imponevano il calcolo di radici negative. introducendo l'unità immaginaria si capì che la parte complessa se ne andava via lasciando una soluzione reale. Se operassi anche con i logaritmi in $\mathbb{C}$ otterresti tutte le soluzioni che ti aspetteresti.

[Koly94]

I campi di esistenza cambiano quando si applicano le proprietà dei logaritmi, nei due casi che hai presentato l'equazione di partenza è diversa, quindi quando sostituisci i risultati che hai ottenuto( e che rispettano i campi di esistenza) fai operazioni diverse.
Prendiamo ad esempio il primo caso se sostituisci un numero minore di 1 ti vengono della parentesi un numero negativo fratto un numero negativo, quindi è positivo nel complesso il numero e il logaritmo esiste, nell'equazione dopo se metti un numero minore di uno nelle due parentesi ti vengono numeri negativi in entrambe e quindi i due logaritmi non esistono.