Logaritmi ed esponenziali
$ 3*2^(xlog_2 9)- 2^(xlog_2 3) -2 = 0 $
Ho problemi con questa equazione... in particolare nella impostazione, come posso andare avanti?
$ 1/ (3^x-1) + 2/ (3^x +1) = 2 $
Con questa invece ho pensato di trasformare 1 in potenza, come 3 elevato 0 ma sinceramente penso sia un ragionamento sbagliato che non mi porta da nessuna parte...
Ho tanti esercizi simili a questi, sarebbe bello capire come poter risolvere questi, per poi riuscire a risolvere anche gli altri, perché le tipologie sono piuttosto simili, grazie in anticipo
Ho problemi con questa equazione... in particolare nella impostazione, come posso andare avanti?
$ 1/ (3^x-1) + 2/ (3^x +1) = 2 $
Con questa invece ho pensato di trasformare 1 in potenza, come 3 elevato 0 ma sinceramente penso sia un ragionamento sbagliato che non mi porta da nessuna parte...
Ho tanti esercizi simili a questi, sarebbe bello capire come poter risolvere questi, per poi riuscire a risolvere anche gli altri, perché le tipologie sono piuttosto simili, grazie in anticipo
Risposte
Per la prima ricorda le proprietà: $2^(xlog_2(9))=2^(log_2(9^x))=9^x$; in maniera analoga puoi ragionare per il secondo termine.
Per quanto riguarda la seconda ti basta porre $3^x=t$ e diventa un'equazione normalissima.
Per quanto riguarda la seconda ti basta porre $3^x=t$ e diventa un'equazione normalissima.
Per questo esercizio $ 3*2^(xlog_2 9)- 2^(xlog_2 3) -2 = 0 $
prima di tutto devi applicare il teorema sui logaritmi $n log_a b = log_a b^n$ e poi sfruttare la definizione di logaritmo nella forma $a^(log_a b) = b$, con queste trasformazioni l'esercizio diventa $3*9^x - 3^x -2=0$, a questo punto ricordando che $9^x= (3^x)^2$ puoi fare una sostitizione ponendo $3^x=t$ e risolvere una semplice equazione di secondo grado.
Anche su questo esercizio $ 1/ (3^x-1) + 2/ (3^x +1) = 2 $ farei una sostituzione, ponendo $3^x=t$ l'esercizio diventa
$1/(t-1) + 2/(t+1) =2$
prima di tutto devi applicare il teorema sui logaritmi $n log_a b = log_a b^n$ e poi sfruttare la definizione di logaritmo nella forma $a^(log_a b) = b$, con queste trasformazioni l'esercizio diventa $3*9^x - 3^x -2=0$, a questo punto ricordando che $9^x= (3^x)^2$ puoi fare una sostitizione ponendo $3^x=t$ e risolvere una semplice equazione di secondo grado.
Anche su questo esercizio $ 1/ (3^x-1) + 2/ (3^x +1) = 2 $ farei una sostituzione, ponendo $3^x=t$ l'esercizio diventa
$1/(t-1) + 2/(t+1) =2$
Se noti che $log_2 9= log_2 3^2=2log_2 3$, ti accorgi che l'equazione
$ 3*2^(xlog_2 9)- 2^(xlog_2 3) -2 = 0 $
si può riscrivere come
$ 3*(2^(xlog_2 3))^2- 2^(xlog_2 3) -2 = 0 $
ed è un'equazione di 2o grado nell'incognita $2^(xlog_2 3)$.
Se fai la posizione $t=2^(xlog_2 3)$, l'equazione diventa
$ 3*t^2- t -2 = 0 $
La seconda è un'equazione di 2o grado nell'incognita $3^x$. Se ti trovi meglio così puoi fare la posizione $t=3^x$ e risolverla.
Da
$ 1/ (3^x-1) + 2/ (3^x +1) = 2 $,
ottieni
$ 1/ (t-1) + 2/ (t +1) = 2 $.
$ 3*2^(xlog_2 9)- 2^(xlog_2 3) -2 = 0 $
si può riscrivere come
$ 3*(2^(xlog_2 3))^2- 2^(xlog_2 3) -2 = 0 $
ed è un'equazione di 2o grado nell'incognita $2^(xlog_2 3)$.
Se fai la posizione $t=2^(xlog_2 3)$, l'equazione diventa
$ 3*t^2- t -2 = 0 $
La seconda è un'equazione di 2o grado nell'incognita $3^x$. Se ti trovi meglio così puoi fare la posizione $t=3^x$ e risolverla.
Da
$ 1/ (3^x-1) + 2/ (3^x +1) = 2 $,
ottieni
$ 1/ (t-1) + 2/ (t +1) = 2 $.
Risolvo la prima equazione, di modo che tu possa avere un esempio.
$3*2^(2xlog_2 3) - 2^(xlog_2 3) - 2 = 0$
Pongo $2^(xlog_2 3) = z$ e, quindi, $2^(2xlog_2 3) = z^2$, così da rendere l'equazione più "familiare". Infatti, sostituendo, avrai una semplice equazione di secondo grado:
$3z^2 - z - 2 = 0$
Le soluzioni di quest'ultima sono $z_1 = -2/3$ e $z_2 = 1$.
A questo punto, ri-sostituisci $z$ secondo la relazione prima posta, e risolvi le due equazioni esponenziali che ti troverai davanti.
Per il secondo esercizio puoi proseguire allo stesso modo, ma solo dopo i dovuti accorgimenti...
$3*2^(2xlog_2 3) - 2^(xlog_2 3) - 2 = 0$
Pongo $2^(xlog_2 3) = z$ e, quindi, $2^(2xlog_2 3) = z^2$, così da rendere l'equazione più "familiare". Infatti, sostituendo, avrai una semplice equazione di secondo grado:
$3z^2 - z - 2 = 0$
Le soluzioni di quest'ultima sono $z_1 = -2/3$ e $z_2 = 1$.
A questo punto, ri-sostituisci $z$ secondo la relazione prima posta, e risolvi le due equazioni esponenziali che ti troverai davanti.
Per il secondo esercizio puoi proseguire allo stesso modo, ma solo dopo i dovuti accorgimenti...
Ringrazio tutti, sono riuscito a svolgere gli esercizi senza alcun tipo di problema, grazie infinite 
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