Logaritmi (52407)

[DanieleMani]

Log(x+

[math]\sqrt{x}[/math]

) - Log(x-

[math]\sqrt{x}[/math]

) = Log(6) - 1/2Log(x)

Ho un problema con questi logaritmi..o meglio forse il problema sono quelle radici si cui non ricordo benissimo i vari calcoli..quindi..chiedo se potreste risolvermi quest'espressione così magari ricordo meglio..Grazie Mille..

Aggiunto 1 ore 34 minuti più tardi:

Purtroppo si.. :( per evitare equivoci te lo scrivo "a voce" : logaritmo in base 10 di x + radice di x + logaritmo in base 10 di x - radice di x = logaritmo in base 10 di 6 - un mezzo che moltiplica logaritmo in base 10 di x

Aggiunto 18 minuti più tardi:

si..giuro :) :(

Aggiunto 1 ore 4 minuti più tardi:

Ti ringrazio comunque..davvero!

Aggiunto 4 giorni più tardi:

Grazie Mille :D

[BIT5]

Si tratta di applicare le proprieta' del logaritmo:

[math] a \log b = \log a^b [/math]

E quindi l'ultimo termine sara'

[math] \log x^{\frac12} [/math]

E poi la proprieta' delle potenze:

[math] \sqrt[n]{a}= a^{ \frac{1}{n}} [/math]

E dunque quest'ultima diverra'

[math] \log x^{ \frac12}= \log \sqrt{x} [/math]

E infine

[math] \log a - \log b = \log \frac{a}{b} [/math]

Avremo dunque

[math] \log \frac{x+ \sqrt{x}}{x- \sqrt{x}} = \log \frac{6}{\sqrt{x}} [/math]

a questo punto, affinche' due logaritmi con stessa base siano uguali, dovranno essere uguali gli argomenti, e quindi

[math] \frac{x+ \sqrt{x}}{x- \sqrt{x}} = \frac{6}{ \sqrt{x}} [/math]

Minimo comune multiplo:

[math] \frac{ \sqrt{x}(x+ \sqrt{x})}{\sqrt{x}(x- \sqrt{x})}= \frac{6(x- \sqrt{x})}{ \sqrt{x}(x- \sqrt{x})} [/math]

Posto il denominatore diverso da zero:

[math] \sqrt{x} (x- \sqrt{x}) \ne 0 \to x \sqrt{x} - x \ne 0 \to x( \sqrt{x}-1) \ne 0 \\ x \ne 0 \cup \sqrt{x} \ne 1 \to x \ne 1 [/math]

Avremo

[math] x \sqrt{x} + x = 6x -6 \sqrt{x} [/math]

E dunque

[math] 5x-7 \sqrt{x} = 0 [/math]

[math] \sqrt{x} ( 5 \sqrt{x}-7 ) =0 \to \sqrt{x}= \frac75 \to x= \frac{49}{25} \cup \sqrt{x}=0 \to x=0 [/math]

x=0 non e' accettabile perche' esclusa nella discussione del denominatore

Ovviamente dovrai discutere (preventivamente) anche gli argomenti del logaritmo in modo tale che siano tutti > di 0
Tale discussione escludera' i valori che, al momento di semplificare il denominatore, lo annullano. Infatti il denominatore e' il prodotto di due argomenti del logaritmo, necessariamente > in senso stretto di zero (e il cui prodotto non potra' mai essere = 0)

Aggiunto 54 minuti più tardi:

CONTROLLO :)

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Mi dai conferma del testo?

Aggiunto 19 minuti più tardi:

e le soluzioni sono x=4 e x=9

Aggiunto 43 minuti più tardi:

Si ho sbagliato l'ultimo pezzo!

Ti posto la fine

Aggiunto 17 minuti più tardi:

[math] x \sqrt{x} +x=6x-6 \sqrt{x} [/math]

[math] 6x- 6 \sqrt{x}+x \sqrt{x}-x=0 [/math]

Raccogliamo a fattore parziale

[math] x(6+ \sqrt{x})- \sqrt{x}(6+ \sqrt{x}) [/math]

[math] x- \sqrt{x}=0 \to \sqrt{x} ( \sqrt{x}-1)=0 \to x=1 [/math]

Aggiunto 35 secondi più tardi:

Guarda non trovo l'errore...
Spero non sia per domani
Ci penso :)

Aggiunto 50 minuti più tardi:

C'e' un errore di segno

Dunque

[math] 6x-6 \sqrt{x}-x \sqrt{x}-x=0 [/math]

[math] 5x-(6+x) \sqrt{x} [/math]

[math] \sqrt{x} (5 \sqrt{x} - 6 - x) [/math]

il primo fattore si annulla per x=0 non accettabile

Il secondo

[math] x-5 \sqrt{x}+6 = 0 [/math]

Sostituisco

[math] \sqrt{x}=t [/math]

E dunque

[math] t^2-5t+6=0 \to (t-2)(t-3)=0 \to t=3 \ \ t=2 [/math]

E quindi

[math] \sqrt{x}=2 \to x=4 \\ \sqrt{x}=3 \to x=9 [/math]

Mai fatti cosi' tanti errori di calcolo in vita mia -.-