Logaritmi
Propongo il seguente esercizio per chi è alle prese con lo studio dei logaritmi;
Risolvere:
$x^(1/2x^2)=1
Risolvere:
$x^(1/2x^2)=1
Risposte
viene che $log(x)=0$ dunque x=1...
"clarkk":
viene che $log(x)=0$ dunque x=1...
Non hai discusso i vari casi ma va bene comunque in quanto quella da te trovata è l'unica soluzione.
Ecco un esercizio un po' più complicato;risolvere:
$x^x+x^(-x)-2=2*(x^(-x)-1)
portiamo a destra il termine $x^-x$ e viene che $x^x=2*x^(-x)-x^(-x)$ da cui $ x^x=x^(-x)*(1)$ e dunque $x=-x$ da cui x=0...
no, scusa..anche x=1 e x=-1...
"clarkk":
portiamo a destra il termine $x^-x$ e viene che $x^x=2*x^(-x)-x^(-x)$ da cui $ x^x=x^(-x)*(1)$ e dunque $x=-x$ da cui x=0...
$0$ non è soluzione
si scusa, $0^0$ non esiste... 
Avete bisogno di una mano o preferite arrangiarvi da soli?
"amelia":
Avete bisogno di una mano o preferite arrangiarvi da soli?
Io no;gli altri non so!!
"Ene@":
[quote="amelia"]Avete bisogno di una mano?
Io no;gli altri non so!!
[/quote]Ma al limite ci sei tu che li puoi aiutare
Se non postano i passaggi non posso aiutarli!
"clarkk":
no, scusa..anche x=1 e x=-1...
Scusate, da dove escono questi due valori??
Commenterò sulla falsa riga di un esempio svolto (di un esercizio simile) che potete trovare nel Dodero (volume B) a pag.47.
Si osservi che deve essere $x>0$.
Sviluppando i calcoli si ottiene:$x^x+x^(-x)-2=2x^(-x)-2$ da cui $x^(2x)=1$
a questo punto l'equazione è pressochè identica all'esempio svolto prima citato;per dovere di cronaca proseguo nel commento:
per valori negativi di $x$ il primo membro dell'equazione è definito solo se l'esponente $2x$ è intero,cioè $2x=-k to x=-k/2,kinNN_0.
Primo caso:$x$$inRR^+
applichiamo i logaritmi,decimali,ad ambo i membri:$Logx^(2x)=Log1=0 to 2x*Logx=0$ da questa equazione l'unica soluzione accettabile è $x=1$.
Secondo caso:$x=-k/2,kinNN_0
non possiamo applicare i logaritmi perchè $x<0$;riscriviamo l'equazione come $(-k/2)^(-k)=1,k=1,2,...
se $k$ è dispari il primo membro è negativo per cui l'equazione non è verificata
se $k$ è pari abbiamo $(-k/2)^(-k)=(k/2)^(-k) => (k/2)^(-k)=1
A questo punto,essendo la base positiva,possiamo applicare i logaritmi:$Log(k/2)^(-k)=Log1=0 to -k*Log(k/2)=0 to k=0,k/2=1
la prima non è accettabile,mentre dalla seconda segue che $x=-1$ che è,dunque,la seconda soluzione.
Si osservi che deve essere $x>0$.
Sviluppando i calcoli si ottiene:$x^x+x^(-x)-2=2x^(-x)-2$ da cui $x^(2x)=1$
a questo punto l'equazione è pressochè identica all'esempio svolto prima citato;per dovere di cronaca proseguo nel commento:
per valori negativi di $x$ il primo membro dell'equazione è definito solo se l'esponente $2x$ è intero,cioè $2x=-k to x=-k/2,kinNN_0.
Primo caso:$x$$inRR^+
applichiamo i logaritmi,decimali,ad ambo i membri:$Logx^(2x)=Log1=0 to 2x*Logx=0$ da questa equazione l'unica soluzione accettabile è $x=1$.
Secondo caso:$x=-k/2,kinNN_0
non possiamo applicare i logaritmi perchè $x<0$;riscriviamo l'equazione come $(-k/2)^(-k)=1,k=1,2,...
se $k$ è dispari il primo membro è negativo per cui l'equazione non è verificata
se $k$ è pari abbiamo $(-k/2)^(-k)=(k/2)^(-k) => (k/2)^(-k)=1
A questo punto,essendo la base positiva,possiamo applicare i logaritmi:$Log(k/2)^(-k)=Log1=0 to -k*Log(k/2)=0 to k=0,k/2=1
la prima non è accettabile,mentre dalla seconda segue che $x=-1$ che è,dunque,la seconda soluzione.
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