L'iperbole e la sua equazione
Ciao a tutti!! Lunedì ho la verifica e sono riuscita a capire ed a risolvere esercizi più difficili ma su questo mi sono arenata, qualcuno può aiutarmi?
Scrivi l'equazione del luogo geometrico dei punti del piano la cui differenza delle distanze dai punti (- 1;0) e (1;0) sia $3/2$
io ho provato a risolverla così:
__
$PA =sqrt{(x-1)^2+y^2}
__
$PB = sqrt{(x+1)^2 + y^2}
$sqrt {(x+1)^2+y} + sqrt {(x-1)^2+y^2} = 3/2
$ x^2+1+2x+y^2=x^2+1-2x+y+9/4\pm\3 sqrt{(x-1)^2+y^2}
$(4x-9/4=)^2\pm\ (3sqrt {(x-1)^2+y^2})
$16x^2+ 81/16- 18x= 9 \times (x^2 +1-2x+y^2)
$16 x^2 +81/16- 18x = 9x^2 +9-18x+9y^2
$16x^2- 9x^2- 9y^2= -81/16+9
purtroppo da questo punto in poi ho provato in vari modi ma non riesco ad andare avanti.
se qualcuno riesce a darmi una mano lo ringrazio tantissimo. Grazie !!!!!
Scrivi l'equazione del luogo geometrico dei punti del piano la cui differenza delle distanze dai punti (- 1;0) e (1;0) sia $3/2$
io ho provato a risolverla così:
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$PA =sqrt{(x-1)^2+y^2}
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$PB = sqrt{(x+1)^2 + y^2}
$sqrt {(x+1)^2+y} + sqrt {(x-1)^2+y^2} = 3/2
$ x^2+1+2x+y^2=x^2+1-2x+y+9/4\pm\3 sqrt{(x-1)^2+y^2}
$(4x-9/4=)^2\pm\ (3sqrt {(x-1)^2+y^2})
$16x^2+ 81/16- 18x= 9 \times (x^2 +1-2x+y^2)
$16 x^2 +81/16- 18x = 9x^2 +9-18x+9y^2
$16x^2- 9x^2- 9y^2= -81/16+9
purtroppo da questo punto in poi ho provato in vari modi ma non riesco ad andare avanti.
se qualcuno riesce a darmi una mano lo ringrazio tantissimo. Grazie !!!!!
Risposte
Nella tua dimostrazione correggo alcuni passaggi che mi sembra siano dovuti ad errori di digitazione, perché poi il calcolo successivo è corretto:
__
$PA =sqrt{(x-1)^2+y^2}
__
$PB = sqrt{(x+1)^2 + y^2}
$sqrt {(x+1)^2+y} = sqrt {(x-1)^2+y^2} +- 3/2
$ x^2+1+2x+y^2=x^2+1-2x+y+9/4\pm\3 sqrt{(x-1)^2+y^2}
$(4x-9/4)^2=(\pm\ (3sqrt {(x-1)^2+y^2}))^2
$16x^2+ 81/16- 18x= 9 \times (x^2 +1-2x+y^2)
$16 x^2 +81/16- 18x = 9x^2 +9-18x+9y^2
$16x^2- 9x^2- 9y^2= -81/16+9
continuando
$7x^2-9y^2=63/16$
moltiplico tutto per $16/63$ e ottengo $16/9x^2-16/7y^2=1$, che nella forma canonica si scrive $x^2/(9/16)-y^2/(7/16)=1$, l'esercizio era praticamente finito
Potevi risolvere l'esercizio anche utilizzando le formule associate all'iperbole di equazione canonica $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ di fuochi in $F_(1,2) (+-c; 0)$ ovvero
$c^2=a^2+b^2$ e $|bar(PF_1)-bar(PF_2)|=2a$
Con i tuoi dati viene $2a=3/2$ e $a^2+b^2=1$, da cui $a=3/4=>a^2=9/16$ e $b^2=7/16$
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$PA =sqrt{(x-1)^2+y^2}
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$PB = sqrt{(x+1)^2 + y^2}
$sqrt {(x+1)^2+y} = sqrt {(x-1)^2+y^2} +- 3/2
$ x^2+1+2x+y^2=x^2+1-2x+y+9/4\pm\3 sqrt{(x-1)^2+y^2}
$(4x-9/4)^2=(\pm\ (3sqrt {(x-1)^2+y^2}))^2
$16x^2+ 81/16- 18x= 9 \times (x^2 +1-2x+y^2)
$16 x^2 +81/16- 18x = 9x^2 +9-18x+9y^2
$16x^2- 9x^2- 9y^2= -81/16+9
continuando
$7x^2-9y^2=63/16$
moltiplico tutto per $16/63$ e ottengo $16/9x^2-16/7y^2=1$, che nella forma canonica si scrive $x^2/(9/16)-y^2/(7/16)=1$, l'esercizio era praticamente finito
Potevi risolvere l'esercizio anche utilizzando le formule associate all'iperbole di equazione canonica $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ di fuochi in $F_(1,2) (+-c; 0)$ ovvero
$c^2=a^2+b^2$ e $|bar(PF_1)-bar(PF_2)|=2a$
Con i tuoi dati viene $2a=3/2$ e $a^2+b^2=1$, da cui $a=3/4=>a^2=9/16$ e $b^2=7/16$
cara Amelia ti ringrazio per la tua risposta e quindi era giusto come avevo risolto l'equazione? Scusami ma sono quasi fusa e vorrei chiederti ancora una cortesia spiegami come faccio ad ottenere il risultato $16/9x^2 16/7y^2
Il metodo è giusto anche se non è il più veloce.
Per trasformare questa equazione $7x^2-9y^2=63/16$ nell'equazione canonica dell'iperbole devo ottenere a secondo membro un 1, quindi divido entrambi i membri per $63/16$, oppure, che è lo stesso, li moltiplico per $16/63$ e così ottengo $16/9x^2-16/7y^2=1$, adesso per avere esattamente la forma canonica li scrivo nella forma $x^2/(9/16)-y^2/(7/16)=1$.
Per trasformare questa equazione $7x^2-9y^2=63/16$ nell'equazione canonica dell'iperbole devo ottenere a secondo membro un 1, quindi divido entrambi i membri per $63/16$, oppure, che è lo stesso, li moltiplico per $16/63$ e così ottengo $16/9x^2-16/7y^2=1$, adesso per avere esattamente la forma canonica li scrivo nella forma $x^2/(9/16)-y^2/(7/16)=1$.
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