Limiti (teoria)
buon giono, sono massimo,
sono in 5^ superiore, ora stiamo facendo le derivate, ma non ho ancora capito i limiti.
domani ho una verifica sui limiti, per questo oggi ho deciso di starmene a casa e passare la giornata a cercare di capirci qualcosa (non sono il tipo che si riduce all'ultimo giono, e in matematica ho anche 7, ma questi limiti non li capisco proprio, ho continuato a leggere sul mio libro, ma non ci capisco veramente niente, per questo ora mi tocca fare questo).
sul mio libro non ci sono discorsi o ragionamenti per far capire ecc... viene solo definita ogni cosa in scrittura matematica e il tutto viene arricchito da delle dimostrazioni che non capisco.
vi spiego cosa ho capito, così capite anche voi cosa ho capito, cosa no, dove sbaglio ecc...
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iniziamo dall'inizio...
io ho una funzione e ad esempio voglio vedere il compotamento della mia funzione (delle ordinate in particolare) nei pressi di un punto scelto da me (delle ascisse)
allora prendo il mio punto ad esempio 2 e dico be, se voglio vedere come si compota la mia funzione nei pressi di 2 allora mi conviene prima di tutto prendere un'intorno di 2 ad esempio [1;3] o [0;4] o [-infinito;3] ecc...
e poi prendere a caso un numero abbastanza piccolo appartenente all'intorno da destra e da sinistra...
ad es: se la mia funzione è (y = x) e scelgo come punto da studiare il 2 e come intorno [1;3] allora un numero abbastanza piccolo da sinistra potrebbe essere 1.9-
quindi vediamo come si comporta la mia funzione al punto 1.9 (la mia funzione in questo caso è così semplice che non devo fare nessun calcolo so già che la mia odinata sarà 1.9)
vediamo invece il comportamento della mia funzione al punto 2.1+ (stessa cosa di prima, so già che l'ordinata è 2.1)
quindi posso dire che il mio punto è più grande di tutti i punti presi a piacere nell'intervallo sinistro e più piccolo di tutti i punti presi a piacee dell'intervallo destro...
X > e- , X < e (con e = numero piccolo a piacere)
questo mi pota a dire che allora quando X tende a 2 allora il limite di Y è 2 cioè significa che più ci si avvicina a 2 più y si avvicina a 2, quando arrivo a 2 y è 2...
questa cosa posso farla ovunque sulla mia funzione, ma di norma si fa solo per determinare gli asintoti...
un'altra cosa e che il mio punto X scelto viene chiamato punto di accumulazione quando posso prendere nell'intervallo infiniti numeri piccoli a piacere...
(QUESTO CHE SIGNIFICA? CHE PER NOMINARE QUEL PUNTO, PUNTO DI ACCUMULAZIONE ALLORA LA MIA FUNZIONE DEVE APPARTENERE AD UN'INSIEME NUMERICO DENSO?... E SE SI ALLORA SE HO UNA FUNZIONE IN (N) NON ESISTE PUNTO DI ACCUMULAZIONE E QUINDI NON SI PUò PARLARE DI LIMITE?, O LIMITE E PUNTO DI ACCUMULAZIONE SONO DUE COSE DIVERSE?)
ora che ho chiarito cosè e come funziona il limite posso usarlo per trovare gli asintoti di una funzione...
allora l'asintoto di una funzione è quella retta in cui la mia funzione si avvicinerà sempre di più sensa mai toccarla...
e si definisce asintoto orizzontale la retta in cui "limite per x→infinito è un numero reale "
l'asintoto verticale è la retta in cui "limite per x→(numero reale) è un infinito"
l'asintoto obliquo è la retta in cui "limite per x→infinito è un'infinito"
bene, questo è tutto quello che so...
dove sbaglio?
c'è da sapere altro? (riguardo al concetto di limite, definizione, come si usa e perchè)
sapete per caso un libro dove vengono spiegati in maniera chiara, che posso trovare in biblioteca?
p.s.
tutto questo è quello che ho capito dopo degli enormi sforzi per decifrare quel linguaggio matematico (troppo sintetico) del mio libro, per quanto riguarda invece le dimostrazioni, non ne ho capita nemmeno una...
sono in 5^ superiore, ora stiamo facendo le derivate, ma non ho ancora capito i limiti.
domani ho una verifica sui limiti, per questo oggi ho deciso di starmene a casa e passare la giornata a cercare di capirci qualcosa (non sono il tipo che si riduce all'ultimo giono, e in matematica ho anche 7, ma questi limiti non li capisco proprio, ho continuato a leggere sul mio libro, ma non ci capisco veramente niente, per questo ora mi tocca fare questo).
sul mio libro non ci sono discorsi o ragionamenti per far capire ecc... viene solo definita ogni cosa in scrittura matematica e il tutto viene arricchito da delle dimostrazioni che non capisco.
vi spiego cosa ho capito, così capite anche voi cosa ho capito, cosa no, dove sbaglio ecc...
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iniziamo dall'inizio...
io ho una funzione e ad esempio voglio vedere il compotamento della mia funzione (delle ordinate in particolare) nei pressi di un punto scelto da me (delle ascisse)
allora prendo il mio punto ad esempio 2 e dico be, se voglio vedere come si compota la mia funzione nei pressi di 2 allora mi conviene prima di tutto prendere un'intorno di 2 ad esempio [1;3] o [0;4] o [-infinito;3] ecc...
e poi prendere a caso un numero abbastanza piccolo appartenente all'intorno da destra e da sinistra...
ad es: se la mia funzione è (y = x) e scelgo come punto da studiare il 2 e come intorno [1;3] allora un numero abbastanza piccolo da sinistra potrebbe essere 1.9-
quindi vediamo come si comporta la mia funzione al punto 1.9 (la mia funzione in questo caso è così semplice che non devo fare nessun calcolo so già che la mia odinata sarà 1.9)
vediamo invece il comportamento della mia funzione al punto 2.1+ (stessa cosa di prima, so già che l'ordinata è 2.1)
quindi posso dire che il mio punto è più grande di tutti i punti presi a piacere nell'intervallo sinistro e più piccolo di tutti i punti presi a piacee dell'intervallo destro...
X > e- , X < e (con e = numero piccolo a piacere)
questo mi pota a dire che allora quando X tende a 2 allora il limite di Y è 2 cioè significa che più ci si avvicina a 2 più y si avvicina a 2, quando arrivo a 2 y è 2...
questa cosa posso farla ovunque sulla mia funzione, ma di norma si fa solo per determinare gli asintoti...
un'altra cosa e che il mio punto X scelto viene chiamato punto di accumulazione quando posso prendere nell'intervallo infiniti numeri piccoli a piacere...
(QUESTO CHE SIGNIFICA? CHE PER NOMINARE QUEL PUNTO, PUNTO DI ACCUMULAZIONE ALLORA LA MIA FUNZIONE DEVE APPARTENERE AD UN'INSIEME NUMERICO DENSO?... E SE SI ALLORA SE HO UNA FUNZIONE IN (N) NON ESISTE PUNTO DI ACCUMULAZIONE E QUINDI NON SI PUò PARLARE DI LIMITE?, O LIMITE E PUNTO DI ACCUMULAZIONE SONO DUE COSE DIVERSE?)
ora che ho chiarito cosè e come funziona il limite posso usarlo per trovare gli asintoti di una funzione...
allora l'asintoto di una funzione è quella retta in cui la mia funzione si avvicinerà sempre di più sensa mai toccarla...
e si definisce asintoto orizzontale la retta in cui "limite per x→infinito è un numero reale "
l'asintoto verticale è la retta in cui "limite per x→(numero reale) è un infinito"
l'asintoto obliquo è la retta in cui "limite per x→infinito è un'infinito"
bene, questo è tutto quello che so...
dove sbaglio?
c'è da sapere altro? (riguardo al concetto di limite, definizione, come si usa e perchè)
sapete per caso un libro dove vengono spiegati in maniera chiara, che posso trovare in biblioteca?
p.s.
tutto questo è quello che ho capito dopo degli enormi sforzi per decifrare quel linguaggio matematico (troppo sintetico) del mio libro, per quanto riguarda invece le dimostrazioni, non ne ho capita nemmeno una...
Risposte
ma il tuo compito sarà sulla teoria o su esercizi?
"itpareid":
ma il tuo compito sarà sulla teoria o su esercizi?
è in pratica un compito dove ci sono delle domande di teoria a cui mettere vero o falso
e poi ci sono alcuni esercizi da svolgere alla fine
quindi diciamo che devo sapere teoria e pratica
per la teoria non vedo altra soluzione che impararti le definizioni ed i teoremi (possibilmente nel linguaggio matematico che tu definisci "troppo sintetico").
gli esercizi li sai fare?
gli esercizi li sai fare?
"itpareid":
per la teoria non vedo altra soluzione che impararti le definizioni ed i teoremi (possibilmente nel linguaggio matematico che tu definisci "troppo sintetico").
gli esercizi li sai fare?
no di alcuni non ci capisco niente, quando sono facili ok, ma quando iniziano a diventare poco poco più difficili non so che fare, poi a volte mi ritrovo con 0/0 o cose del genere e non riesco a cambiare il risultato...
io ho pensato che se mi succede questo è perchè forse non ho capito bene cosa sia il limite, per questo sto vedendo di capire la parte di teoria del libro, ma non ci riesco,io ci stò provando, ma niente, ora o riesco a farcela, o settimana prossima mi faccio un'ora a pagamento da qualcuno...
adesso mi metto a fare degli esercizi, magari dopo inserisco quelli che non riesco, così magari riuscite a farmi capire come farli....
es:
Applicando la definizione di limite, verificha che:
a) $lim_(x->3)(x+3)/x = 2$
b) $lim_(x->4)(2x+1) = 7$
ad esempio io nella prima direi che è vero perchè:
$(3+3)/3 = 2$
mentre sul mio libro fa vedere l'esercizio svolto correttamente che è:
dobbiamo verificare che, scelto $\epsilon > 0$, esiste un intorno completo di $3$ per ogni $x$ del quale (escluso al più $3$) si ha:
$|(x+3)/x -2| < epsilon$. risolviamo la disequazione:
$|((x+3)/x -2)| < epsilon$ → $|(3-x)/x| < epsilon $ → $\{(3-x)/x < epsilon,(3-x)/x > -epsilon :}$ → $\{(3-x-epsilonx)/x < 0,(3-x + epsilonx)/x > 0 :}$
prima disequazione ha per soluzioni :
$x < 0 $ $vv$ $x > 3/(1+epsilon)$
seconda disequazione ha per soluzioni:
$0 < x < 3/(1-epsilon)$
le soluzioni del sistema sono:
$3/(1+epsilon) < 3 < 3/(1-epsilon)$ da cui:
• $3/(1+epsilon) < 3$ $hArr$ $3 < 3(1+epsilon) = 3+3epsilon$
sempre vera;
• $3< 3/(1-epsilon)$ $hArr$ $ 3(1-epsilon) < 3$ $hArr$ $ 3-3epsilon < 3$
sempre vera nell'ipotesi fatta $epsilon < 1$.
entrambe le disuguaglianze sono vere per ogni $epsilon > 0$
poichè l'intervallo $ ] 3/(1+epsilon)$ ; $3/(1-epsilon) [$ rappresenta un'intervallo completo di $3$, il limite è verificato.
graficamente otteniamo.... ecc... ecc...
ma io non ci ho capito niente!
per svolgere un'esercizio così dovrei sapere la teoria a memoria...
per me questa cosa è arabo!, se mi sforzo piano piano riesco a capirlo, ma mi sento preso per i fondelli dal mio libro, io non lo capisco!
p.s.
questa dvrebbe essere un sistema :
$\{(3-x)/x < epsilon,(3-x)/x > -epsilon :}$
su le regole del forum ho cercato come si scriveva, ma poi è uscita questa cosa strana
Applicando la definizione di limite, verificha che:
a) $lim_(x->3)(x+3)/x = 2$
b) $lim_(x->4)(2x+1) = 7$
ad esempio io nella prima direi che è vero perchè:
$(3+3)/3 = 2$
mentre sul mio libro fa vedere l'esercizio svolto correttamente che è:
dobbiamo verificare che, scelto $\epsilon > 0$, esiste un intorno completo di $3$ per ogni $x$ del quale (escluso al più $3$) si ha:
$|(x+3)/x -2| < epsilon$. risolviamo la disequazione:
$|((x+3)/x -2)| < epsilon$ → $|(3-x)/x| < epsilon $ → $\{(3-x)/x < epsilon,(3-x)/x > -epsilon :}$ → $\{(3-x-epsilonx)/x < 0,(3-x + epsilonx)/x > 0 :}$
prima disequazione ha per soluzioni :
$x < 0 $ $vv$ $x > 3/(1+epsilon)$
seconda disequazione ha per soluzioni:
$0 < x < 3/(1-epsilon)$
le soluzioni del sistema sono:
$3/(1+epsilon) < 3 < 3/(1-epsilon)$ da cui:
• $3/(1+epsilon) < 3$ $hArr$ $3 < 3(1+epsilon) = 3+3epsilon$
sempre vera;
• $3< 3/(1-epsilon)$ $hArr$ $ 3(1-epsilon) < 3$ $hArr$ $ 3-3epsilon < 3$
sempre vera nell'ipotesi fatta $epsilon < 1$.
entrambe le disuguaglianze sono vere per ogni $epsilon > 0$
poichè l'intervallo $ ] 3/(1+epsilon)$ ; $3/(1-epsilon) [$ rappresenta un'intervallo completo di $3$, il limite è verificato.
graficamente otteniamo.... ecc... ecc...
ma io non ci ho capito niente!
per svolgere un'esercizio così dovrei sapere la teoria a memoria...
per me questa cosa è arabo!, se mi sforzo piano piano riesco a capirlo, ma mi sento preso per i fondelli dal mio libro, io non lo capisco!
p.s.
questa dvrebbe essere un sistema :
$\{(3-x)/x < epsilon,(3-x)/x > -epsilon :}$
su le regole del forum ho cercato come si scriveva, ma poi è uscita questa cosa strana
"applicando la definizione di limite" il più delle volte si riconduce a studiare una disequazione.
poi ci sono i vari casi a seconda che il punto di accumulazione e/o il valore del limite siano finiti o no.
mi dispiace ma mi sa che le definizioni te le devi imparare a memoria...
poi ci sono i vari casi a seconda che il punto di accumulazione e/o il valore del limite siano finiti o no.
mi dispiace ma mi sa che le definizioni te le devi imparare a memoria...
"itpareid":
"applicando la definizione di limite" il più delle volte si riconduce a studiare una disequazione.
poi ci sono i vari casi a seconda che il punto di accumulazione e/o il valore del limite siano finiti o no.
mi dispiace ma mi sa che le definizioni te le devi imparare a memoria...
allora cercherò di studiarmi a memoria queste cose, spero di farcela...
grazie per le risposte
se devi anche fare calcoli di limiti che ti danno forme indeterminate (tipo 0/0) allora ci sono dei procedimenti per togliere l'indeterminazione, se vuoi prova a
postare qualcosa su cui hai dei dubbi...
postare qualcosa su cui hai dei dubbi...
Secondo il mio debol parere, da studente tuo pari, il Lamberti-Mereu-Nanni per il triennio è un testo abbastanza chiaro o quantomeno, qualora non lo sia oggettivamente, io l'ho trovato tale. Ti consiglio di provare a reperirlo; chissà che magari non riesca a dissipare i tuoi dubbi.
Ma non devi studiare a memoria, devi capire la definizione di limite! Ragiona graficamente con un disegnino, segnandoti sull'asse delle $y$ gli intorni di raggio $epsilon$ e su quello delle $x$ gli intorni di raggio $delta$. Vedi, su questo forum ci sono delle ottime spiegazioni, per esempio prova a cercare tra i post di @melia.
"dissonance":
Ma non devi studiare a memoria, devi capire la definizione di limite!
Infatti, volevo segnalare questo post che forse può tornare utile per ragionarci su..
https://www.matematicamente.it/forum/con ... 66996.html
ok, ora cerco un pò nel forum
una domanda (stò ripartendo dalle basi)...
esempio estremo superiore di un'insieme:
dato un insieme $E$ superiormente limitato, si dice estremo superiore di $E$ quel numero $M$ , se esiste, tale che:
• $x <= M$, $AA$ $x £ E$;
• $AA$$epsilon > 0$ è possibile trovare almeno un elemento di $x £ E$ maggiore di $(M-epsilon)$
se l'insieme è illimitato superiormente si dice che il suo estremo superiore è + infinito
ma quello al secondo pallino che senso ha? , solo per il fatto che $M £ E$ non dovrebbe avere senso dire che esiste un punto maggiore nella mia funzione di $(M-epsilon)$
p.s.
£ = appartiene
esempio estremo superiore di un'insieme:
dato un insieme $E$ superiormente limitato, si dice estremo superiore di $E$ quel numero $M$ , se esiste, tale che:
• $x <= M$, $AA$ $x £ E$;
• $AA$$epsilon > 0$ è possibile trovare almeno un elemento di $x £ E$ maggiore di $(M-epsilon)$
se l'insieme è illimitato superiormente si dice che il suo estremo superiore è + infinito
ma quello al secondo pallino che senso ha? , solo per il fatto che $M £ E$ non dovrebbe avere senso dire che esiste un punto maggiore nella mia funzione di $(M-epsilon)$
p.s.
£ = appartiene
"Delirium":
Secondo il mio debol parere, da studente tuo pari, il Lamberti-Mereu-Nanni per il triennio è un testo abbastanza chiaro o quantomeno, qualora non lo sia oggettivamente, io l'ho trovato tale. Ti consiglio di provare a reperirlo; chissà che magari non riesca a dissipare i tuoi dubbi.
Concordo, peccato che a volte non sia proprio chiaro negli esercizi; c'è comunque un libretto allegato molto utile dedicato solo agli esercizi. Chi ce l' ha dovrebbe farne tesoro, con quello non ha problemi!
In bocca al lupo per il compito, cerca di capire i limiti, sono importanti.. e, personale parere, domani cerca di prendere un buon voto, ma soprattutto non lasciare indietro l' argomento! Voglio dire, se domani la verifica va male non abbatterti ma insisti!
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