Limiti senza Hopital
Buongiorno.
Non riesco a risolvere questi limiti:
$\lim_{n \to \0+}(x/2)^(1/ln(3x))$
Poichè è della forma $0^0$ ho provato ad applicare la funzione esponenziale e poi le proprietà dei logaritmi.
$\lim_{n \to \0+}(x/2)^(1/ln(3x))=lim_{n \to \0+}(e^(ln(x/2)^(1/ln(3x))))=lim_{n \to \0+}(e^(ln(x/2)ln(3x)))$
ma arrivato a questo punto ho dei dubbi... il tutto risulta $e^(+infty)$ e quindi $+infty$?
Il secondo è:
$\lim_{n \to \+infty}((x+1)/(x-1))^sqrtx$
Ho provato in questo modo:
$\lim_{n \to \+infty}((x+1)/(x-1))^sqrtx=\lim_{n \to \+infty}(((x+1)/x)(x/(x-1)))^(x^(1/2))=$
$\lim_{n \to \+infty}(((x+1)/x)^x)^(1/2)lim_{n \to \+infty}(((x)/(x-1))^x)^(1/2)$
Il primo limite risulta $\sqrt(e)$, ma nel secondo non so casa fare.
Aggiungere e togliere 1 a numeratore? Otterrei però la forma $\1^infty$ che è indeterminata...
Posso chiedervi delle dritte?
Grazie mille!
Non riesco a risolvere questi limiti:
$\lim_{n \to \0+}(x/2)^(1/ln(3x))$
Poichè è della forma $0^0$ ho provato ad applicare la funzione esponenziale e poi le proprietà dei logaritmi.
$\lim_{n \to \0+}(x/2)^(1/ln(3x))=lim_{n \to \0+}(e^(ln(x/2)^(1/ln(3x))))=lim_{n \to \0+}(e^(ln(x/2)ln(3x)))$
ma arrivato a questo punto ho dei dubbi... il tutto risulta $e^(+infty)$ e quindi $+infty$?
Il secondo è:
$\lim_{n \to \+infty}((x+1)/(x-1))^sqrtx$
Ho provato in questo modo:
$\lim_{n \to \+infty}((x+1)/(x-1))^sqrtx=\lim_{n \to \+infty}(((x+1)/x)(x/(x-1)))^(x^(1/2))=$
$\lim_{n \to \+infty}(((x+1)/x)^x)^(1/2)lim_{n \to \+infty}(((x)/(x-1))^x)^(1/2)$
Il primo limite risulta $\sqrt(e)$, ma nel secondo non so casa fare.
Aggiungere e togliere 1 a numeratore? Otterrei però la forma $\1^infty$ che è indeterminata...
Posso chiedervi delle dritte?
Grazie mille!
Risposte
Nel primo mi sembra ci sia un errore nell'ultimo passaggio
$ln x^k = k lnx$
quindi dovrebbe essere
$lim_(n->0^+) (e^(1/ln(3x) ln (x/2)))$
$ln x^k = k lnx$
quindi dovrebbe essere
$lim_(n->0^+) (e^(1/ln(3x) ln (x/2)))$
Nel primo hai fatto un errore come dice @mazzarri, il limite di fatto fa $e$
Nel secondo aggiungi e sottrai $1$ all'esponente ed in seguito moltiplica e dividi per $sqrt(x)+1$, dopo aver riscritto nel modo appropriato la base:
$((x+1)/(x-1))^(sqrt(x))=(1+2/(x-1))^sqrt(x)$
Vediamo l'esponente: aggiungiamo e sottriamo $1$:
$sqrt(x)=sqrt(x)-1+1$
Moltiplichiamo e dividiamo per $sqrt(x)+1$ abbiamo infine:
$sqrt(x)-1+1=((sqrt(x)-1)(sqrt(x)+1))/(sqrt(x)+1)+1$
Notando che $(sqrt(x)-1)(sqrt(x)+1)=x-1$ abbiamo:
$(1+2/(x-1))^((x-1)/(sqrt(x)+1)+1)$, inoltre molipicando e dividendo ancora per 2 si ottiene:
$lim_(x->+oo)[(1+2/(x-1))^(2(x-1))]^(1/(2(sqrt(x)+1))](1+2/(x-1))^1=e^(1/(+oo))*1=e^0*1=1$
P.S. : Attento, $a^(sqrt(x))!=(a^(x))^(1/2)$
Nel secondo aggiungi e sottrai $1$ all'esponente ed in seguito moltiplica e dividi per $sqrt(x)+1$, dopo aver riscritto nel modo appropriato la base:
$((x+1)/(x-1))^(sqrt(x))=(1+2/(x-1))^sqrt(x)$
Vediamo l'esponente: aggiungiamo e sottriamo $1$:
$sqrt(x)=sqrt(x)-1+1$
Moltiplichiamo e dividiamo per $sqrt(x)+1$ abbiamo infine:
$sqrt(x)-1+1=((sqrt(x)-1)(sqrt(x)+1))/(sqrt(x)+1)+1$
Notando che $(sqrt(x)-1)(sqrt(x)+1)=x-1$ abbiamo:
$(1+2/(x-1))^((x-1)/(sqrt(x)+1)+1)$, inoltre molipicando e dividendo ancora per 2 si ottiene:
$lim_(x->+oo)[(1+2/(x-1))^(2(x-1))]^(1/(2(sqrt(x)+1))](1+2/(x-1))^1=e^(1/(+oo))*1=e^0*1=1$
P.S. : Attento, $a^(sqrt(x))!=(a^(x))^(1/2)$
Grazie mille, ora ho capito, anche l'osservazione $a^sqrtx$.
Posso approfittare della gentilezza e chiedervi questi due limiti?
1) $lim_(x->0)((senx)/x)^((senx)/(x-senx))$
Ho svolto questo passaggio
$lim_(x->0) e^(((senx)/(x-senx)) ln((senx)/x))$
studio il limite dell'esponente $lim_(x->0) ((senx)/(x-senx)) ln((senx)/x)$ cioè $lim_(x->0) ((senx)/(x-senx))lim_(x->0) ln((senx)/x)$
Il secondo limite è $ln1$ cioè $0$ Il primo posso scriverlo come $1/((x-senx)/x)$ cioè $1/(1-(senx)/x)$
ma mi pare che ciò non porti a nulla...
2) $lim_(x->(pi/4))(tgx-1)^(tg(x-pi/4))$ è della forma $0^0$
Lo trasformo in $lim_(x->(pi/4))e^(tg(x-pi/4)ln(tgx-1))$
Trasformare $tgx-1$ in $tgx-tg(pi/4)$ non mi pare porti a nulla...
Sinceramente non so da che parte prenderlo... Posso chiedervi un aiuto? Grazie
Posso approfittare della gentilezza e chiedervi questi due limiti?
1) $lim_(x->0)((senx)/x)^((senx)/(x-senx))$
Ho svolto questo passaggio
$lim_(x->0) e^(((senx)/(x-senx)) ln((senx)/x))$
studio il limite dell'esponente $lim_(x->0) ((senx)/(x-senx)) ln((senx)/x)$ cioè $lim_(x->0) ((senx)/(x-senx))lim_(x->0) ln((senx)/x)$
Il secondo limite è $ln1$ cioè $0$ Il primo posso scriverlo come $1/((x-senx)/x)$ cioè $1/(1-(senx)/x)$
ma mi pare che ciò non porti a nulla...
2) $lim_(x->(pi/4))(tgx-1)^(tg(x-pi/4))$ è della forma $0^0$
Lo trasformo in $lim_(x->(pi/4))e^(tg(x-pi/4)ln(tgx-1))$
Trasformare $tgx-1$ in $tgx-tg(pi/4)$ non mi pare porti a nulla...
Sinceramente non so da che parte prenderlo... Posso chiedervi un aiuto? Grazie
Il primo limite l'ho risolto consultandomi con questa risorsa in rete
http://axp.mat.uniroma2.it/~braides/080 ... i19-20.pdf
http://axp.mat.uniroma2.it/~braides/080 ... i19-20.pdf
Ciao,
intanto faccio il primo: sei arrivato a \[
\Large
e^{\frac{\sin x}{x-\sin x}\cdot \ln{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}}
\] Giustamente dici che il logaritmo tende a $0$, quindi vediamo la prima parte. Divido sopra e sotto per $x$ e ottengo \[
\frac{\frac{\sin x}{x}}{1-\frac{\sin x}{x}}
\] che tende a $oo$ per $x -> 0$. Quindi non abbiamo risolto, perché ci troviamo con una forma indeterminata $oo * 0$.
Mi concentro sull'esponente e lo riscrivo come \[
\Large
\frac{\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)}{\frac{x-\sin x}{\sin x}} = -\frac{\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)}{1-\frac{x}{\sin x}}
\] Cambio di variabile: $(sin x)/x = t$. Quando $x -> 0$ si ha che $t -> 1$, quindi otteniamo \[
\lim_{t\to 1}\left(-\frac{\ln t}{1-\frac{1}{t}}\right)
\] Altro cambio di variabile: $t-1 = y$. Quando $t -> 1$ si ha $y -> 0$. In definitiva \[
\lim_{y\to 0}\left(-\frac{\ln\left(y+1\right)}{1-\frac{1}{y+1}}\right) =
\lim_{y\to 0}\left(-\frac{\left(y+1\right)\ \ln\left(y+1\right)}{y}\right) =
-1
\] per un limite notevole. Quindi il risultato finale è \[
\Large e^{-1}
\] Forse c'erano anche metodi più semplici, comunque questo funziona...
EDIT: Ho visto che per questo avevi risolto, comunque volevo lasciare il messaggio per mostrare quanto posso essere inutilmente contorto...
intanto faccio il primo: sei arrivato a \[
\Large
e^{\frac{\sin x}{x-\sin x}\cdot \ln{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}}
\] Giustamente dici che il logaritmo tende a $0$, quindi vediamo la prima parte. Divido sopra e sotto per $x$ e ottengo \[
\frac{\frac{\sin x}{x}}{1-\frac{\sin x}{x}}
\] che tende a $oo$ per $x -> 0$. Quindi non abbiamo risolto, perché ci troviamo con una forma indeterminata $oo * 0$.
Mi concentro sull'esponente e lo riscrivo come \[
\Large
\frac{\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)}{\frac{x-\sin x}{\sin x}} = -\frac{\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)}{1-\frac{x}{\sin x}}
\] Cambio di variabile: $(sin x)/x = t$. Quando $x -> 0$ si ha che $t -> 1$, quindi otteniamo \[
\lim_{t\to 1}\left(-\frac{\ln t}{1-\frac{1}{t}}\right)
\] Altro cambio di variabile: $t-1 = y$. Quando $t -> 1$ si ha $y -> 0$. In definitiva \[
\lim_{y\to 0}\left(-\frac{\ln\left(y+1\right)}{1-\frac{1}{y+1}}\right) =
\lim_{y\to 0}\left(-\frac{\left(y+1\right)\ \ln\left(y+1\right)}{y}\right) =
-1
\] per un limite notevole. Quindi il risultato finale è \[
\Large e^{-1}
\] Forse c'erano anche metodi più semplici, comunque questo funziona...
EDIT: Ho visto che per questo avevi risolto, comunque volevo lasciare il messaggio per mostrare quanto posso essere inutilmente contorto...
Grazie mille! Meglio avere un procedimento in più, fornisce comunque spunti di riflessione.
Ora devo risolvere quello con la $tg(pi/4)$... non posso arrendermi
Ora devo risolvere quello con la $tg(pi/4)$... non posso arrendermi
Nel 99.999% dei casi, il fatto che ci sia $x -> pi/4$ ti suggerisce il cambio di variabile \[
y = x-\frac{\pi}{4}
\] in modo da avere $y -> 0$ e tutti i limiti notevoli a disposizione.
y = x-\frac{\pi}{4}
\] in modo da avere $y -> 0$ e tutti i limiti notevoli a disposizione.
Trovato! Applico il cambio di variabile suggerito. quindi $y=x-pi/4$, cioè $x=y+pi/4$
$lim_(y->0) e^ (tg(y+pi/4)yln(tg(y+pi/4)-1) $=$lim_(y->0) e^ ( y (ln(tg(y+pi/4)-1)/(tg(y+pi/4) ) )) $
Ora devo solo togliere il segno meno dentro al logaritmo per ricondurmi al limite notevole
$lim_(y->0) e^ (tg(y+pi/4)yln(tg(y+pi/4)-1) $=$lim_(y->0) e^ ( y (ln(tg(y+pi/4)-1)/(tg(y+pi/4) ) )) $
Ora devo solo togliere il segno meno dentro al logaritmo per ricondurmi al limite notevole
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo