Limiti notevoli: i grafici $y=x, y=senx, y=tgx$

[gio73]

questi i limiti notevoli
$lim_(x->0)(senx)/x=1$ e
$lim_(x->0)( tgx)/x=1$
disegnando insieme i grafici si vede che nel I quadrante, vicino a 0 crescono "quasi" nello stesso modo ($senx$ appena sotto e $tgx$ appena sopra, si toccano nell'origine), mentre quando ci si allontana un po' di più senx è più "lento" della retta e tgx molto più "veloce". Posso dire che nel I quadrante la curva senx sarà sempre "sotto" la bisettrice, mentre nell'intervallo $(0;pi/2)$ il grafico di $tgx$ sarà sempre "sopra" la bisettrice.
Mi sono espressa correttamente?

[Kashaman]

Gio non vedo il collegamento con i limiti notevoli. Dovrebbe essere una loro giustificazione?

[gio73]

Perchè no?
Trovo sia un modo per ricordarli, secondo te è sensato?

[Kashaman]

secondo me no. Ti spiego le mie motivazioni :
E vero che le funzioni sen(x) , x e tg(x) si comportano allo stesso modo in un intorno di centro $x_0=0$
infatti le tre sopracitate sono continue in $0$ e valgono (ironia della sorte ) proprio 0. E se vogliamo proprio dirla tutta, in un intorno di $0$ sen(x),x,tg(x) sono pressoché identiche. Fin qui, ci siamo.
Tuttavia,
in quei limiti notevoli, non si confrontano le funzioni sopracitate.
Bensì si prendono in considerazione altre due funzioni.
Una è questa : $sin(x)/x$ qui grafico
l'altra è questa $tg(x)/x$ qui grafico
(per brevità definisco le funzioni così, senza definirle per esteso.)
Ora capire come si comportano vicino lo $0$ zero è più complicato. (perché?)
Ci viene d'aiuto il teorema dei carabinieri
Si può dimostrare che $sen(x) dividendo per $sen(x)$ ottengo
$1 $cos(x) ora poiché per $x->0$ sia $cos(x)$ che $1$ tendono ad uno, ne segue , per il teorema dei due carabinieri che anche $sin(x)/x->1$ per $x->0$

per $(tg(x))/x$ si può ragionare così
$lim_(x->0)(tg(x))/x=lim_(x->0)(sin(x)/x)*(1/cos(x))=1*1=1$

[gio73]

Ciao Kashaman,
grazie per il tuo interessamento e per le tue spiegazioni.