Limiti notevoli
Dunque, io ho questo limite:
il log è in base 2, per x che tende a zero
$lim log (1 + x ) / 3^{x}-1 $
Io l'ho fatto diventare $lim t / 3^{2^{t} + 1 } -1 $ per t che tende a zero
ho posto $t=log(1 + x )$, quindi $2^{t}= 1 + x$ e $x =2^{t} -1$
Log sempre in base due
Ora non so più andare avanti, come faccio a ricacciarmi il limite notevole?
Scusate la pessima scrittura in linguaggio matematico, prometto di migliorare, se nn vi è chiaro qualcosa chiedete, ma penso di aver scritto tutto.
il log è in base 2, per x che tende a zero
$lim log (1 + x ) / 3^{x}-1 $
Io l'ho fatto diventare $lim t / 3^{2^{t} + 1 } -1 $ per t che tende a zero
ho posto $t=log(1 + x )$, quindi $2^{t}= 1 + x$ e $x =2^{t} -1$
Log sempre in base due
Ora non so più andare avanti, come faccio a ricacciarmi il limite notevole?
Scusate la pessima scrittura in linguaggio matematico, prometto di migliorare, se nn vi è chiaro qualcosa chiedete, ma penso di aver scritto tutto.
Risposte
Vedo se riesco ad aiutarti, intanto suppongo che il testo dell'esercizio sia $lim_(x ->0) (log_2 (1 + x )) / (3^{x}-1) $
Con i cambi di variabile che hai fatto mi sono persa, perché se sono utili per il numeratore, allo stesso modo mandano in pallone il denominatore.
Io trasformerei il limite in $lim_(x ->0) (log_2 (1 + x ))/x * x / (3^{x}-1) $
In questo modo i due fattori diventano due limiti notevoli che dovresti conoscere.
Con i cambi di variabile che hai fatto mi sono persa, perché se sono utili per il numeratore, allo stesso modo mandano in pallone il denominatore.
Io trasformerei il limite in $lim_(x ->0) (log_2 (1 + x ))/x * x / (3^{x}-1) $
In questo modo i due fattori diventano due limiti notevoli che dovresti conoscere.
Scusa ma io non vedo forme di indeterminazione nel limite sche hai scritto !
Infatti. Ma non torna $-1$?
Ragazzi, ma non vedete che si è dimenticata/o una parentesi e il -1 è finito in fondo alla linea di frazione anziché a denominatore?
"@melia":
Vedo se riesco ad aiutarti, intanto suppongo che il testo dell'esercizio sia $lim_(x ->0) (log_2 (1 + x )) / (3^{x}-1) $
Con i cambi di variabile che hai fatto mi sono persa, perché se sono utili per il numeratore, allo stesso modo mandano in pallone il denominatore.
Io trasformerei il limite in $lim_(x ->0) (log_2 (1 + x ))/x * x / (3^{x}-1) $
In questo modo i due fattori diventano due limiti notevoli che dovresti conoscere.
si è giusto come hai interpretato la mia scrittura araba! ma $log_2 (1+x)$ non si può scomporre come $x+o(x)$ o questo vale solo per ln?
Cosa sono le forme di indeterminazione?
La soluzione deve essere $1/(log2*log3)$
scusate il doppio post, ma volevo dirvi che grazie ai vostri consigli sono riuscita a risolverlo, comunque potreste rispondere lo stesso alle mie domende di cui sopra? grazie mille
"RedAngel":
ma $log_2 (1+x)$ non si può scomporre come $x+o(x)$ o questo vale solo per ln?
vale solo per il logaritmo naturale, per il logaritmo in base a devi porre una costante davanti che poi si traduce nella trasformazione dal l$og_a$ a quello $ln$:
$log_a x=lnx/lna$
"RedAngel":
Cosa sono le forme di indeterminazione?
sono le forme indeterminate come $0/0$, $oo/oo$, ...
A si è vero, le forme indeterminate, io le avevo bollate come FI per praticità.
E invece in questo caso in cui ho due esponenziali come andrebbe meglio scomporre per iniziare? io ho promavo milioni di strade ma nn mi hanno portato a niente, ho finito la fantasia.
$lim_(x->0) (2^(2x)-1)/(3^(x)-1$
ho provato a scomporre come quello di prima, ma poi sostituendo t=$(3^(x)-1$ mi viene un esponente logaritmico che non so come togliere, ho provato anche con i cambi di base ma è stato peggio.
In realtà è che nn so da dove cominciare per svolgere questo tipo di esercizi. Non c'è una regola, una procedura da seguire, possibile che si debba andare a intuito?
(se vado fuori tema ditemelo perchè ho in testa una tale confusione di argomenti pazzesca)
E invece in questo caso in cui ho due esponenziali come andrebbe meglio scomporre per iniziare? io ho promavo milioni di strade ma nn mi hanno portato a niente, ho finito la fantasia.
$lim_(x->0) (2^(2x)-1)/(3^(x)-1$
ho provato a scomporre come quello di prima, ma poi sostituendo t=$(3^(x)-1$ mi viene un esponente logaritmico che non so come togliere, ho provato anche con i cambi di base ma è stato peggio.
In realtà è che nn so da dove cominciare per svolgere questo tipo di esercizi. Non c'è una regola, una procedura da seguire, possibile che si debba andare a intuito?
(se vado fuori tema ditemelo perchè ho in testa una tale confusione di argomenti pazzesca)
Devi ricondurti al limite notevole del primo esercizio che hai riportato. Per farlo basta utilizzare un procedimento simile a quello suggerito da @melia. Nota che $2^(2x)=4^x$
"RedAngel":
E invece in questo caso in cui ho due esponenziali come andrebbe meglio scomporre per iniziare? io ho promavo milioni di strade ma nn mi hanno portato a niente, ho finito la fantasia.
$lim_(x->0) (2^(2x)-1)/(3^(x)-1)$
Prova a pensarlo così:
$lim_(x->0) (4^x-1)* 1/(3^x-1)$
Cosa potresti fare per ricondurti a due limiti notevoli? *
Non ti perdere con le sostituzioni, che in questi casi ti complicano notevolmente l'esercizio.
"RedAngel":
In realtà è che nn so da dove cominciare per svolgere questo tipo di esercizi. Non c'è una regola, una procedura da seguire, possibile che si debba andare a intuito?
(se vado fuori tema ditemelo perchè ho in testa una tale confusione di argomenti pazzesca)
Devi esercitarti tanto e fare occhio.
Col tempo, certi limiti ti basterà solo guardarli per capire da subito come vanno affrontati e risolti.
I limiti notevoli sono davvero un grandissimo aiuto per la risoluzione di alcuni limiti, ma non funzonano per tutti.
Io ti consiglio di iniziare a fare i calli con esercizi banali, che si risolvono con i limiti notevoli; te ne propongo alcuni con soluzione, per farti capire come vanno fatti, però devi impegnarti a fare tanti altri esercizi:
1)
$lim_(x->0) (sen (3x))/(x)$
Ricordiamo il limite notevole: $lim_(x->0) (sen(x))/x = 1$;
ma in questo caso l'argomento del seno non è $x$ bensì $3x$, quindi per poter usare quel limite notevole: al denominatore dobbiamo avere lo stesso argomento del seno cioè $3x$; per averlo basta dividere e moltiplicare per $3$, in questo modo:
$lim_(x->0) (sen (3x))/(x)$ $=$ $lim_(x->0) ((sen (3x))/(3x)) * 3$ [non è cambiato nulla poichè $1/3*3=1$]
Ora è evidente che $lim_(x->0) ((sen (3x))/(3x))= 0 $ (per il limite notevole), per cui:
$lim_(x->0) ((sen (3x))/(3x)) * 3$ $=$ $1*3 = 3$
2)
$lim_(x->0) (sen(4x))/x $
Va fatto nello stesso modo dell'esercizio 1) è solo che dobbiamo dividere e moltiplicare per $4$ anzichè $3$.
3)
$lim_(x->0) (tg(x))/(2x) $
Ricorda il limite notevole: $lim_(x->0) (tg(x))/x=1$
Il limite dell'esercizio possiamo scriverlo così:
$lim_(x->0) (tg(x))/(2x) = lim_(x->0) ((tg(x))/(x) ) * 1/2 = 1*1/2 = 1/2 $
4)
$lim_(x->0) (5^(2x)-1)/(x) $
Ricorda il limite notevole : $lim_(x->0) (a^(x)-1)/(x) = lna$
Per poterlo usare il denominatore deve essere uguale all'esponente di $a$.
Nell'esercizio che ti ho proposto, manca un 2 al denominatore; ma è facile ottenerlo, baste dividere e moltiplicare per 2, così da ottenere:
$lim_(x->0) (5^(2x)-1)/(x) = lim_(x->0) ((5^(2x)-1)/(2x)) * 2 = ln5 * 2 = 2ln5 $
Insomma, spero di averti schiarito un pò le idee su come vanno affrontati questi semplici esercizi, ora esercitati tantissimo tu.
_____________
* I limiti notevoli a cui mi riferisco sono di questo tipo: $lim_(x->0) (a^x-1)/x = ln a$, con $a>0$
grazie mille per la spiegazione, adesso è più chiaro. Quanto agli esercizi, io li faccio ma ogni volta trovo qualcosa di diverso che mi blocca e non posso andare avanti
Ottima spiegazione devo dire che però anch'io ogni volta trovo qualcosa di diverso e mi blocco
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